Approximation diophantienne, dynamique des chambres de Weyl et répartition d'orbites de réseaux

par François Maucourant

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Livio Flaminio.

Soutenue en 2002

à Lille 1 .


  • Résumé

    La première partie de cette thèse exploite et développe la relation entre approximation diophantienne homogène à une variable dans un corps de nombres K, ainsi que la minimisation de formes quadratiques binaires sur des réseaux d'une part, et la dynamique des chambres de Weyl dans la variété de Hilbert associée à K d'autre part. En particulier, nous montrons que la constante de Hurwitz associée à K est toujours atteinte, et que sa multiplicité est non dénombrable si ce n'est pas un nombre algébrique. On considère également le cas particulier où la variété de Hilbert est de rang 1, c'est-à-dire lorsque K est le corps des rationnels ou bien un corps imaginaire quadratique. Nous prouvons alors que le spectre de Lagrange, qui est constitué des constantes d'approximation des nombres complexes, et l'adhérence de l'ensemble des constantes d'approximation des nombres complexes, est l'adhérence de l'ensemble des constantes d'approximation des nombres quadratiques sur K, et est donc fermé.

  • Titre traduit

    Diophantine approximation, Weyl chambers dynamics and distribution of orbits of lattices


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    Ceci généralise un résultat dû à Cusick lorsque K est le corps des rationnels. La deuxième partie s'intéresse au problème des cibles rétrécissantes sur une variété hyperbolique de volume fini. On démontre qu'une alternative de type Borel-Cantelli est vraie, analogue à celles étudiées par Sullivan, Kleinbock et Margulis, Paulin et Hersonsky, dans le cas d'un point à l'infini. Dans la troisième et dernière partie sont étudiés des résultats de répartition des orbites de l'action de réseaux\Gamma de groupes de Lie G sur certains espaces homogènes G/H. La mesure obtenue, limite faible d'une "moyenne" de mesures de Dirac en les points de l'orbite, dépend du point initial x de l'orbite, et n'est pas toujours uniforme, mais fait intervenir une dérivée de Radon-Nikodyn\delta(x,. ) par rapport à la mesure G-invariante sur G/H, comme l'ont démontré Ledrappier et Gorodnik. En particulier, nous exhibons un tel G/H, qui se réalise comme classe de conjugaison matricielle, pour lequel le facteur\delta n'est pas un produit de fonctions à variables séparées.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (124 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 121-124

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université des sciences et technologies de Lille (Villeneuve d'Ascq, Nord). Service commun de la documentation.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 50376-2002-359
  • Bibliothèque : Université François Rabelais. Bibliothèque du Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique et du Département de Mathématiques.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TH-MAUC
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