Polynômes orthogonaux simultanés et systèmes dynamiques infinis

par Emmanuel Bourreau

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Bernhard Beckermann.

Soutenue en 2002

à Lille 1 .


  • Résumé

    Je définis tout d'abord les polynômes vectoriels orthogonaux relativement à une matrice r x s de mesures ou de pois et je rappelle les propriétés habituelles : la récurrence à r+s+1 termes, le théorème de Shohat-Favard ou l'égalité de Christoeffel-Darboux. Ces polynômes permettent par l'utilisation d'approximants de Padé de caractériser l'ensemble résolvant de l'opérateur aux différences associé aux récurrences. Cette caractérisation a déjà été donnée par Duren mais la démonstration utilisée ici est novatrice. Je définis ensuite des fonctions homographiques sur l'ensemble des matrices r x s. J'uniformise ainsi tous les cas connus de fractions continues : scalaire, vectoriel ou matriciel. Elles permettent aussi de démontrer un théorème d'accélération de convergence des fractions continues matricielles, généralisation d'un théorème similaire pour les fractions généralisées donné par de Bruin et Jacobsen. J'utilise alors les polynômes vectoriels pour calculer les coefficients de récurrence d'autres polynômes par l'algorithme de Chebyshev modifié vectoriel, généralisation du cas scalaire, pour lequel nous démontrons des critères de stabilité. Finalement, l'algorithme de Chebyshev modifié est utilisé pour étudier l'évolution temporelle du système dynamique semi-infini de Toda-Langmuir. Dans ce système, les particules sont sur le semi-axe réel et elles interagissent suivant une loi exponentielle décroissante. L'approche utilisée pour résoudre le problème est encore une fois innovante. En effet, j'étudie seulement les n premières particules et je m'intéresse à l'erreur commise sur l'évolution lorsque l'on tronque le système à N>>n quantités c'est-à-dire que l'ontravaille avec un système fini. Je présente l'étude théorique de l'erreur, où je réutilise nos résultats sur la stabilité de l'algorithme de Chebyshev modifié, ainsi que des exemples numériques.


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Informations

  • Détails : 1 vol. (122 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. f. 117-122

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université des sciences et technologies de Lille (Villeneuve d'Ascq, Nord). Service commun de la documentation.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 50376-2002-67
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