Application de la méthode des matrices de rigidité dynamique au calcul des structures à poutres

par Ramzi Ait Djaoud

Thèse de doctorat en Génie civil

Sous la direction de Richard Cabrillac.

Soutenue en 2002

à Cergy-Pontoise .

    mots clés mots clés


  • Résumé

    Les études dynamiques prennent une part de plus en plus importante dans la conception des ouvrages de génie civil. Cependant, le choix de la modélisation physique et mathématique du problème ainsi que d'une méthode de résolution numérique adaptée au traitement informatique des équations obtenues, s'avère primordial. La particularité de la Méthode des Matrices de Rigidité Dynamique (MMRD) réside dans l'utilisation de fonctions d'interpolations trigonométriques et hyperboliques, solutions analytiques de l'équation différentielle gouvernant le mouvement vibratoire de la structure étudiée. Cette matrice appelée Matrice de Rigidité Dynamique (MRD) regroupe en chacun de ses éléments les caractéristiques dynamiques de la structure. Par cette méthode, le calcul des vibrations libres se ramène à un problème non linéaire de valeurs propres. Notre contribution à l'application de cette méthode pour le calcul des structures à poutres a pour objet, d'une part, d'établir les matrices de rigidité dynamique locales et globales de différents types d'éléments poutres, de développer certains aspects liés à la prise en compte de conditions aux limites particulières et de jeter les bases de l'étude des réponses dynamiques des structures sous les effets de masses et de charges roulantes. Nous commençons par décrire la formulation mathématique des matrices de rigidité dynamique dans le cadre d'une démarche éléments finis et nous établissons les matrices de rigidité dynamique d'éléments poutre soumis aux efforts individuels ou combinés d'extension, de torsion et de flexion avec et sans cisaillement transversal. Le programme éléments finis RE_FLEX nous a permis d'implémenter les MRD des éléments poutres préalablement élaborées. Après les description des algorithmes adoptés pour le calcul des vibrations libres de structures pluri-élémentaires, ainsi que la détermination de la forme analytique du nombre de fréquences propres contenues dans un intervalle donné pour chacun des éléments, nous présentons les calculs de fréquences propres de structures à poutres mono et pluri-élémentaires, dans différentes configurations, afin de valider chacun des éléments poutres développés. Les résultats obtenus pour certaines structures nous ont permis de faire, par la même occasion, une comparaison avec la Méthode des Eléments Finis (MEF) sur les plans de la précision et de la consommation des ressources processeurs. Contrairement à la MEF où les résultats dépendent de la finesse du maillage, la MMRD donne des résultats très précis avec une discrétisation minimale correspondant à un élément par poutre. L'analyse par MMRD de conditions aux limites particulières telles que les appuis élastiques et les masses concentrées, au travers d'une étude paramétrique, montre qu'il existe une interaction entre les fréquences propres des structures et l'amplitude ou la position des appuis élastiques et des masses concentrées additionnelle. On constate en particulier que la présence des masses additionnelles entraîne une baisse des fréquences propres alors que l'effet inverse est observé en présence d'appuis élastiques. Par ailleurs, les résultats obtenus sont confrontés à ceux provenant d'autres méthodes numériques ou semi-analytiques rencontrées dans la littérature. Nous abordons enfin le problème des réponses dynamiques des structures en explicitant les différents schémas de calcul déjà implémentés par certains laboratoires, qui s'inscrivent dans un contexte MMRD et inspirés, directement ou indirectement, d'une analyse modale. Nous explicitons ensuite un schéma basé sur l'utilisation des Transformées de Fourier Rapides dont nous détaillons la puissance en termes de rapidité, de fiabilité, de commodité de mise en données, de précision et de stabilité au voisinage de la résonance, ainsi que le nombre important et varié de perspectives qu'il offre pour le développement d'outils de calculs spécifiques destinés à l'analyse dynamique des structures à poutres.


  • Résumé

    Dynamic research takes an increasingly significant share in the design phase of civil engineering projects. The characteristic of the numerical Dynamic Stiffness Matrix Method (DSMM) lies in the use of trigonometrical and hyperbolic displacement functions, which are the exact solutions of the governing equation of the harmonic motion of the studied beams structure. This matrix called Dynamic Stiffness Matrix (DSM) gathers in each one of its terms the dynamic characteristics of the structure. By using this method, the calculation of the free vibrations is reduced to a non-linear eigenvalues problem. The finite element program RE_FLEX enabled us to implement the DSM of the beam elements established before. After the description of the algorithms adopted for the calculation of the natural frequencies of multi-beams structures, as well as the determination of the analytical form of the number of eigen-frequencies contained in a predefined interval for each element, we present the calculations of eigen-frequencies of some mono or multi-beams structures in different configurations in order to validate each developed elementary DSM. The results obtained for certain structures enabled us to make a comparison with the Finite Element Method (FEM) in terms of accuracy and of processing resources requirements. The DSMM gives very accurate results with a minimal discretization of each beam by a single element. Using DSMM, the analysis of particular boundary conditions such as springs (elastic supports) and concentrated masses, through parametric studies, shows that there is an interaction between the eigen-frequencies of the structures and the amplitude and the position of the springs or the additional concentrated masses. We finally tackle the problem of the dynamic responses of the structures by examining the various methods of calculation within DSMM already implemented by some research laboratories and based, directly or indirectly, on a modal analysis.

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Informations

  • Détails : 158 f.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p.124-132

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  • Bibliothèque : Université de Cergy-Pontoise. Bibliothèque universitaire. Site de Neuville.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TS CERG 2002 AIT
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