Etude mathématique d'équations de Schrödinger quasilinéaires intervenant en physique des plasmas

par Mathieu Colin

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Anne de Bouard.


  • Résumé

    La propagation d'impulsions laser intenses et ultra-courtes dans un milieu gazeux engendre de nombreux phénomènes: en particulier, il se crée une colonne de plasma dans laquelle des ondes autofocalisées se propagent. Ces phénomènes sont décrits par les équations générales de la mécanique des fluides relatives aux plasmas relativistes associées aux équations de Maxwell. Notamment, l'évolution de l'amplitude de l'onde électromagnétique est régie par une équation de Schrödinger relativiste. Dans cette thèse, nous étudions cette équation de Schrödinger relativiste. On commence par résoudre le problème de Cauchy local en dimension quelconque dans des espaces de Sobolev H^s(R^N) de régularité finie sans aucune hypothèse de petitesse sur la donnée initiale à l'aide de méthodes d'énergie. Ensuite, nous montrons rigoureusement que dans un certain sens l'équation de Schrödinger relativiste est, en dimension deux d'espace, une bonne approximation d'une équation d'onde de type Klein-Gordon. Enfin, nous montrons l'existence, l'unicité aux translations et rotations près et la stabilité orbitale dans un sens un peu plus faible que le sens usuel de solutions de type onde solitaire pour l'équation de Schrödinger en dimension deux d'espace, en utilisant la méthode de minimisation introduite par T. Cazenave et P. L. Lions.


  • Résumé

    The propagation of high-power ultra-short laser pulses in gas gives rise to many phenomenas and leads in particular to the creation of a plasma column where electromagnetic waves propagate. These phenomenas are described by the general fluid mechanics equations relative to relativistic plasmas combined with Maxwell equations. Particularly, the amplitude of the electromagnetic field satisfies a nonlinear relativistic Schrodinger equation. In this thesis, we study this relativistic Schrodinger equation. We begin by solving the Cauchy problem in arbitrary space dimension in Sobolev spaces H^s(R^N) with finite regularity without any smallness assumption on the initial data by energy methods. Afterwards, we proved rigourously that in a sens the relativistic Schrodinger equation is, in dimension two, a good approximation of a Klein-Gordon equation. Finally, in the two-dimensional case, we showed the existence, the uniqueness up to translations and rotations and the orbital stability in a weaker sens than the usual one of solitary waves solutions of the relativistic Schrodinger equation, using the minimization method of T. Cazenave and P. L. Lions.

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Informations

  • Détails : 118 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p.111-114

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  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : M/Wg ORSA(2001)262
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : COLI
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