Perturbations singulières pour des EDP linéaires et non linéaires en présence de singularités

par Makram Hamouda

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Roger Temam.


  • Résumé

    Ma thèse porte sur l'étude des couches limites et de perturbations singulières (i. E. Caractérisées par la présence d'un petit paramètre qui tend vers zéro) dans des conditions plus délicates que d'habitude, à savoir lorsque la solution limite n'est pas régulière. Je considère ainsi deux classes de problèmes réguliers associes à un laplacien et à un bilaplacien, et un problème non linéaire dérivé du problème de Plateau (surfaces minimas), pour lequel la fonction limite a une dérivée normale infinie sur certaines parties de la frontière. La première partie de cette thèse est consacrée pour l'étude de deux modèles linéaires singuliers associés à des perturbations singulières. En fait, la présence d'un petit paramètre dans des équations aux dérivées partielles entraîne l'apparition d'une couche limite classique près du bord du domaine pour la solution dite régularisée. Cependant, si on considère en plus une fonction source discontinue (voire une distribution), on constate qu'une nouvelle couche limite apparaisse à l'intérieur du domaine; l'étude de celle-ci constitue le principal but de cette première partie. Dans la deuxième partie, on s'intéresse à l'étude du problème des surfaces minimales sur une couronne. Pour quelques données au bord, ce problème n'admet pas de solution et sa solution faible dite "généralisée" admet une dérivée infinie. On introduit alors une méthode de régularisation elliptique qui entraîne une couche limite près du bord. Le résultat fondamental de cette partie consiste à donner explicitement une approximation pour cette solution régularisée.


  • Résumé

    In my thesis, we study some singular perturbation problems (i. E characterized by the presence of a small parameter) which develop boundary layers in some conditions more delicate than usually, namely when the limit solution is not regular. I consider then two classes of regular problems associated to Laplacian and bilaplacian, and a nonlinear problem derived from the Plateau problem (minimal surfaces), for which the limit function has an infinite normal derivative on some parts of the boundary of the domain. The first part of this thesis is concerned with the study of two singular linear models associated to non classical singular perturbations. In fact, the presence of a small parameter in the partial differential equations involve the appearance of classical boundary layers near the boundary for the regularized solution. However, if we consider moreover a discontinuous source function (even a distribution), we note the appearance of non classical boundary layers in the interior of the domain; the study of these boundary layers consists the main object of this first part. In the second part of my thesis, i am interesting to study the minimal surfaces problem on a domain formed by two concentric circles. For some boundary data, this problem do not have any solution and its weak solution called "the generalized solution" has an infinite gradient. To solve this difficulty, we introduce an elliptic regularsation which involve boundary layers near the boundary. The main result of this part consists to give some representation formulas of the solutions, of some approximate solutions, and some estimates of the order of convergence.

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Informations

  • Détails : 129 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p.[119]-124

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  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : M/Wg ORSA(2001)244
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : HAMO
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