Stabilité asymptotique de solutions d'équations dissipatives

• Auteur / Autrice : MOHAMED ALI HAMZA
• Direction : Geneviève Raugel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Ma these est composee de deux parties independantes. Dans la premiere partie, on considere l'equation des ondes (faiblement) amortie r r + r = (a() )|| p 1, dans r, ou est un parametre positif non necessairement petit, p ,1, 3 et a() 1 quand. Dans le cas ou a 1, il est bien connu que l'equation parabolique limite pour tendant vers 0, admet une famille de solutions g , , p, (1/p1) 1 / p 1, ( p > 0) auto-similaires positives. On va montrer que, pour des donnees initiales proches de (g , rg ) a un instant 0 assez grand, dans un espace avec poids adequat, la solution (, ) de l'equation ci-dessus a le meme comportement asymptotique que (g , g ). Ce resultat de stabilite se demontre en reecrivant le probleme en variables auto-similaires et en utilisant des fonctionnelles d'energie variees. Dans la deuxieme partie, on etudie l'equation de josephson t t + t t = sin (), sur r, ou est une constante strictement positive donnee et ou > 0 est un petit parametre. Dans ce cas, l'equation de josephson peut etre consideree comme une perturbation singuliere de l'equation des ondes faiblement amortie t t + t = sin(), dans r, qui possede une famille d'ondes progressives monotones (ou fronts) h c 0 parametree par la vitesse c pour c , c *(0). 1, ou c *(0) est la vitesse critique. En outre, ces fronts sont asymptotiquement stables. En utilisant un resultat de perturbations singulieres de fenichel, nous montrons que, pour tout c 1 < 1 proche de 1, il existe 0 >0, tel que pour ,0, 0, l'equation de josephson admet une famille d'ondes progressives monotones de vitesse c , c *(), c 1. L'introduction de diverses fonctionnelles d'energie permet de montrer que ces ondes sont asymptotiquement stables pour c c *(). Dans le cas critique, i. E. C = c *() on determinera le profil asymptotique en temps des perturbations de l'onde progressive h c * ( ).