Construction de fonctions de Lyapunov contrôlées et stabilisation non-linéaire

par Ludovic Faubourg

Thèse de doctorat en Sciences pour l'ingénieur

Sous la direction de Laurent Baratchart et de Jean-Baptiste Pomet.

Soutenue en 2001

à Nice .


  • Résumé

    La recherche de fonctions de Lyapunov contrôlées, c’est-à-dire de fonctions qui peuvent être assignées à être des fonctions de Lyapunov pour une certaine commande, joue un rôle très important pour la stabilisation des systèmes non linéaires et la robustesse de la stabilité obtenue. C’est à la fois un outil fondamental d’un point de vue théorique puisque l’on peut réduire la recherche de lois de commande stabilisantes à la recherche de fonctions de Lyapunov contrôlées, un outil de synthèse de lois de commande, et un outil pour l’étude de leur robustesse. L’objectif de cette thèse consiste a obtenir de nouveaux algorithmes de construction. Nous proposons deux voies distinctes. La première consiste à construire des fonctions de Lyapunov contrôlées pour des systèmes dits de Jurdevic-Quinn. Ces systèmes possèdent naturellement une fonction de Lyapunov au sens large que nous déformons pour obtenir des fonctions de Lyapunov contrôlées. Dans le cas homogène, le problème est résolu à la fois dans les cas stationnaires et non stationnaires. Dans le cas non homogène, la méthode a conduit sur des exemples à des fonctions de Lyapunov contrôlées même si un seul résultat partiel a pu être prouvé. Dans le but de construire à terme des fonctions de Lyapunov contrôlées à partir de fonctions valeurs de problèmes de commande optimale en général non différentiables, nous étudions dans un second temps la possibilité d’approcher uniformément une fonction non continûment différentiable par une suite de fonctions de Lyapunov contrôlées continûment différentiable. Nous montrons que la notion de fonction de Lyapunov au sens des gradients généralisés n’est pas une condition nécessaire et nous donnons une configuration dans laquelle l’approximation uniforme par des fonctions de Lyapunov contrôlées est impossible.

  • Titre traduit

    Design of control Lyapunov functions and nonlinear stabilization


  • Résumé

    Looking for control Lyapunov functions that are functions that can be assigned to be Lyapunov functions by a feedback law, play a central role in the stabilization of nonlinear systems and their robustness. At the same time it is a fundamental tool from a theoretical point of view, because looking for asymptotically stalizing control law is equivalent to looking for control Lyapunov functions, a synthesis tool, and a tool to study robustness. The purpose of this thesis is to define new algorithms to build control Lyapunov functions starting with Jurdjevic-Quinnn type systems. The natural weak Lyapunov function these systems have is reshapped to obtain control Lyapunov functions. In the homogeneous case, the both stationary and non-stationary problems are solved. In the non-homogeneous case, the same method yields, in many examples, to control Lyapunov functions, even if only a partial result has been proved. With the final aim of building control Lyapunov functions staring from the value functions of an optimal control problems, we study the possibility to approach a non-smooth function uniformly with a series of smooth control Lyapunov functions. We prove that the notion of control Lyapunov function in a generalized gradient sense is not a necessary condition and we give a configuration in which the uniform approximation with control Lyapunov functions is not possible.

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Informations

  • Détails : 154 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p . 151-154. Résumés en français et en anglais

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  • Bibliothèque : Université Nice Sophia Antipolis. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 01NICE5682
  • Bibliothèque : Université Nice Sophia Antipolis. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 01NICE5682bis
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