Étude d'une classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques : existence, unicité, comportement asymptotique

par Benjamin Bergé

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Pierre Vuillermot.

Soutenue en 2001

à Nancy 1 .


  • Résumé

    Dans cette thèse nous étudions une classe de problèmes issus de la dynamique des populations et modélisés par des équations aux dérivées partielles paraboliques stochastiques semilinéaires dirigées par un processus de Wiener en dimension finie. Dans le premier chapitre nous évoquons le cheminement historique des idées qui ont conduit à cette étude et nous formulons des hypothèses générales de travail. Dans le deuxième chapitre, nous présentons une construction de l'intégrale stochastique au sens d'Itô d'une classe de processus à valeurs dans un espace de Hilbert. Nous y introduisons également une classe d'équations auxiliaires et nous prouvons l'existence et l'unicité d'une solution variationnelle pour cette classe. Dans le troisième chapitre nous établissons un principe de comparaison pour la classe en question, ce qui nous permet en fin de compte de prouver l'existence et l'unicité d'une solution variationnelle pour le problème de départ. Nous montrons par ailleurs que notre méthode de démonstration s'applique également bien à l'établissement d'un principe de comparaison pour les équations différentielles stochastiques ordinaires et les équations aux dérivées partielles déterministes, ce qui conduit à un traitement unifié de tous ces cas. Dans le quatrième et dernier chapitre nous étudions le comportement asymptotique d'une telle solution lorsque la variable temporelle tend vers l'infini. Nous y prouvons l'existence d'un attracteur global et nous y dégageons des conditions permettant la détermination explicite des exposants de Lyapunov relatifs aux diverses composantes de cet attracteur. Nous interprétons également certains de nos résultats dans le contexte de la génétique des populations. Dans l'annexe nous démontrons une nouvelle formule d'Itô relative à une classe de processus à valeurs dans un espace de Hilbert.


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    In this thesis we investigate a class of stochastic, parabolic, semilinear partial differential equations driven by finite-dimensional Wiener processes. Such equations arise in problems from population dynamics and population genetics. In the first chapter we briefly analyze various models that have been proposed over the years in this field of research ; these models motivate the class of problems we study in this work. In the second chapter we develop a construction of Itô's stochastic integral for a class of Hilbert space-valued stochastic prpcesses. We also introduce a crass of auxiliary problems for which we prove the existence ànd the uniqueness of a variational solution. In the third chapter we prove a-comparison principle for the class of auxiliary problems we introduced in the second chapter, which allows us to prove the existence and the uniqueness of a variational solution to the original class of problems. Our method of proof of the comparison principle is set up in such a way that it allows us to unify various methods which have been devised over the years to prove comparison principles for stochastic, parabolic partial differential equations, Itô's stochastic differential equations as weIl as deterministic, parabolic, partial differential equations. In the fourth chapter we analyze the fine asymptotic behavior of the solutions to our class of problems when the time variable goes to infinity. In particular, we prove the existence of a global attractor and we unveil the mechanism where by the solutions approach the global attracter. We also show how to deterrnine explicitly the corresponding Lyapunov exponents when the nonlinearities of the noise terms are subordinated to the nonlinearities of the drift terms. Our analysis also allows us to exhibit a phenomenon of exchange of stability between the components of the global attractor. As an application of our results, we give two examples in the context of population genetics.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (136 p.)
  • Annexes : 86 ref.

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  • Bibliothèque : Université de Lorraine (Villers-lès-Nancy, Meurthe-et-Moselle). Direction de la Documentation et de l'Edition - BU Sciences et Techniques.
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