Metriques kahleriennes de volume fini, uniformisation des surfaces complexes reglees et equations de seiberg-witten

par Yann Rollin

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Olivier Biquard.

Soutenue en 2001

à Palaiseau, Ecole polytechnique .

    mots clés mots clés


  • Résumé

    Nous mettons en evidence une nouvelle interaction entre la theorie des fibres stables et l'existence de metriques kahleriennes a courbure scalaire constante sur les surfaces complexes de volume fini. Si m est une surface reglee de genre superieur a 2, obtenue par projectivisation d'un fibre parabolique holomorphe polystable de rang 2 au dessus d'une surface de riemann, alors m peut etre obtenue par une representation projective unitaire du groupe fondamental via le theoreme de mehta-seshadri. On obtient alors la metrique voulue comme produit local des metriques standard a courbures constantes sur la base et la fibre. En outre cette metrique possede des singularites de volume fini appelees bouts paraboliques. Reciproquement, si m admet une metrique kahlerienne a courbure scalaire negative ou nulle, dont les bouts sont asymptotiques au modele, nous demontrons que le fibre parabolique de depart est polystable et que la metrique est obtenue a un biholomorphisme pres par la construction precedente, generalisant ainsi les theoreme de burns-de bartolomeis et le brun. Dans le cas difficile de la courbure scalaire strictement negative la demontration necessite d'exhiber une solution des equations de seiberg-witten en volume fini et nous etudions dans ce but la cohomologie l 2 et la theorie de hodge des metriques de volume fini a bouts paraboliques.


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Informations

  • Détails : 106 p.
  • Annexes : 26 ref.

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