Stabilité et filtration de Harder-Narasimhan

par Laurent Bruasse

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Georges Dloussky.


  • Résumé

    Née sur les variétés algébriques, la notion de stabilité s'est ensuite généralisée aux variétés kähleriennes, puis, aux variétés holomorphes compactes grâce à l'utilisation des métriques de Gauduchon. L'étude du comportement des fibrés (ou des faisceaux) non semi-stables n'a été faite de façon complète que dans le cas algébrique à travers la notion de filtration de Harder-Narasimhan (FHN). Nous poursuivons ici cette étude pour des variétés holomorphes compactes quelconques. Nous montrons qu'il est possible de définir le sous-faisceau de pente maximale d'un fibré vectoriel complexe. Ce sous-faisceau est obtenu comme limite au sens des " sous-fibrés holomorphes faibles ", notion déjà utilisée par Uhlenbeck et Yau pour la correspondance de Kobayashi-Hitchin, qui nous donne ici "la bonne notion de convergence". Nous démontrons l'existence d'une FHN dans ce cadre. Nous généralisons ensuite le résultat aux faisceaux cohérents sans-torsion. On est alors confronté à des problèmes de convergence liés à la non compacité de la base (lieu où le faisceau est localement libre). Nous montrons ensuite comment ces méthodes s'appliquent à une famille de fibrés (ou une famille plate de faisceaux sans-torsion) définie sur une déformation de variété holomorphe compacte pour obtenir des résultats d'existence de sous-faisceaux limites de type Bishop. On obtient par là-même une nouvelle démonstration de l'ouverture de la stabilité en déformation. Dans une deuxième partie, nous donnons des conditions équivalentes de simplicité et de stabilité pour les fibrés tangents des surfaces holomorphes compactes de la classe VII. Nous obtenons, en particulier, un exemple de déformation de surface à coquille sphérique globale qui illustre la non ouverture de la non semi-stabilité en déformation.

  • Titre traduit

    Stability and Harder-Narasimhan filtration


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Informations

  • Détails : 95 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 89-91. Index

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  • Bibliothèque : Université d'Aix-Marseille (Marseille. St Charles). Service commun de la documentation. Bibliothèque universitaire de sciences lettres et sciences humaines.
  • Disponible pour le PEB
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