Sur le déploiement du champ spectral d'une matrice

par Élisabeth Traviesas

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées aux sciences sociales

Sous la direction de Françoise Chatelin.

Soutenue en 2000

à Toulouse 1 .


  • Résumé

    La méthode d'Arnoldi est une méthode de projection de type Krylov qui permet, entre autres, de résoudre un problème important dans le calcul scientifique : déterminer le spectre d'une matrice de très grande taille. Cette thèse est centrée sur l'arrêt de l'algorithme de cette méthode d'Arnoldi du à une division impossible par 0. Afin de mener cette étude de manière théorique et pratique, les principaux concepts d'analyse inverse des erreurs sont rappelés en distinguant les perturbations normwise (aucune hypothèse sur les perturbations aa admissibles de la matrice a, seule ||aa|| est bornée) des perturbations homotopiques (structure de cette perturbation connue aa = te, e fixe et t e c). Pour le cas homotopique, le rang et la norme de e jouent un rôle important. L'erreur inverse homotopique ainsi définie permet d'introduire l'erreur de méthode d'Arnoldi, nulle lors de l'arrêt heureux de l'algorithme à l'itération ko. Un lien théorique entre le vecteur initial de l'espace de Krylov et ko est établi. À l'aide de la détermination des pseudo-spectres, l'approche homotopique permet, dans certains cas, de récupérer une information sur le spectre de la matrice plus fine que l'approche normwise. Les valeurs propres approchées par la méthode d'Arnoldi sont valeurs propres exactes d'une matrice a + te ou le rang et la norme de e sont égaux à 1 : elles appartiennent à un seul pseudo-spectre homotopique. Une étude plus large des perturbations homotopiques est menée, centrée sur les lignes et les courbes spectrales d'une famille homotopique de matrices a+te, t = toe10 e c , ou le rang de e joue un rôle important. Des expérimentations numériques utilisant la méthode d'Arnoldi en précision finie sont réalisées qui distinguent trois procédés d'orthogonalisation pour réaliser la factorisation qr, identiques en arithmétique exacte mais de comportements différents en précision finie. Ces expérimentations permettent de mettre en évidence la difficulté de détecter un arrêt heureux théorique. Une approche heuristique pour le détecter est proposée ainsi que des comparaisons avec les expérimentations effectuées grâce au logiciel précisé.

  • Titre traduit

    On the spectral unfolding of a matrix


  • Pas de résumé disponible.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

  • Détails : 1 vol. (167 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 155-158

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Toulouse 1 Capitole. Service commun de la documentation. Bibliothèque de l'Arsenal.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : TG1001-2000-78
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.