Groupes quantiques et categories de diagrammes planaires

par HENRIK THYS

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Christian Kassel.

Soutenue en 2000

à Strasbourg 1 .

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  • Résumé

    On considere le cas du groupe quantique u q(sl 2) lorsque le parametre q est une racine primitive 2r-ieme de l'unite. Sa categorie de modules n'est pas semisimple dans ce cas. On peut la forcer a etre semisimple en eliminant ce que turaev a appele les modules negligeables (essentiellement ceux dont la dimension quantique est nulle). Dans une premiere partie, nous demontrons que cette categorie semisimplifiee est equivalente a une categorie de diagrammes planaires associee au crochet de kauffman. Notons v k (0 k r 2) le u q(sl 2)-module simple de plus haut poids q k. Soit l un entrelacs parallelise colorie par ces modules. Distinguons une composante k de l et soit v k sa couleur. Nous notons j l / k ; k l'invariant de reshetikhin-turaev correspondant a cette donnee. En utilisant la theorie des representations de u q(sl 2), kirby et melvin ont demontre une symetrie entre j l / k ; k et j l , k ; r 2 k. En application de la premiere partie, nous donnons de ce principe de symetrie une demonstration topologique. La troisieme partie est purement algebrique et porte sur la quantification de la superalgebre de lie d(2, 1, x), qui joue un role particulier en physique et dans la theorie des invariants de vassiliev. Les quantifications de ces superalgebres de lie sont des superalgebres de hopf munies de bases de type poincare-birkhoff-witt. L'existence d'une r-matrice universelle pour les supergroupes quantiques a ete etablie pour les quantifications de toutes les superalgebres de lie classifiees par kac, a l'exception precisement de d(2, 1, x). La troisieme partie de la these est consacree a la construction explicite d'une r-matrice universelle pour la quantification u h(d(2, 1, x)).

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Informations

  • Détails : 86 p.
  • Annexes : 61 ref.

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  • Bibliothèque : Université de Strasbourg. Service commun de la documentation. Bibliothèque Blaise Pascal.
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