Systèmes de contact et structures de Goursat : Théorie et application au contrôle des systèmes mécaniques non holonomes

par William Pasillas-Lépine

Thèse de doctorat en Mathématique. Automatique

Sous la direction de Witold Respondek.

Soutenue en 2000

à Rouen .


  • Résumé

    Dans la première partie de ce mémoire de thèse, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système de Pfaff soit localement équivalent au système de contact canonique sur l'espace de jets Jⁿ (R, Rm). Ces conditions, en plus d'être géométriques et intrinsèques, sont vérifiables explicitement et étendent de façon naturelle les caractérisations de certains systèmes de contact obtenues par Darboux, Cartan, Bryant et Murray. Lorsque notre critère de régularité n'est pas vérifié, nous montrons que le système de Pfaff peut néanmoins être mis sous une forme normale qui généralise celle introduite par Kumpera et Ruiz dans leurs travaux sur les structures de Goursat. Dans la deuxième partie, nous introduisons un nouvel invariant local pour les structures de Goursat. Cet invariant, que nous avons appelé le type de singularité, contient une partie importante de la géométrie locale des structures de Goursat. Par exemple, le vecteur de croissance et les courbes anormales de toute structure de Goursat sont déterminés par le type de singularité. Nous montrons aussi que toute structure de Goursat est localement équivalente au camion avec remorques, considéré dans un voisinage d'un point bien choisi de son espace de configuration. Dans la troisième partie, nous appliquons nos résultats sur les structures de Goursat au problème de génération de trajectoires pour le camion avec remorques au voisinage d'une configuration singulière. Dans notre étude, nous montrons que toute structure de Goursat admet localement une paire de générateurs engendrant une algèbre de Lie nilpotente.


  • Résumé

    In the first part of this Ph. D. Thesis, we give necessary and sufficient conditions for a Pfaffian system to be locally equivalent to the canonical contact system on the jet space Jⁿ (R, Rm). Those conditions, which are both geometric and intrinsic, can be checked explicitly and extend in a natural way classical characterizations of certain contact systems obtained by Darboux, Cartan, Bryant and Murray. When our regularity conditions does not hold, we show that Pfaffian system can nevertheless be converted into a normal form that generalizes that introduced by Kumpera and Ruiz in their work on Goursat structures. In the second part, we introduce a new local invariant for Goursat structures. This invariant, called the singularity type, contains an important part of the local geometry of Goursat structures. For example, the growth vector and abnormal curves of any Goursat structure are determined by the singularity type. We also show that any Goursat structure is locally equivalent to the n-trailer system, considered in a neighbourhood of a well-chosen point of its configuration space. In the third part, we apply our results on Goursat structures to the nonholonomic motion planning problem for the n-trailer system in a neighbourhood of a singular configuration. In our study, we also show that any Goursat structure admits locally a pair of generators that span a nilpotent Lie algebra.

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Informations

  • Détails : 178p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr.96réf.

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  • Bibliothèque : Université de Rouen. Service commun de la documentation. Section sciences site Madrillet.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 00/ROUE/S025
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