Voiles et polyedres de klein, geometrie, algorithmes et statistiques

par JACQUES-OLIVIER MOUSSAFIR

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Vladimir Igorevič Arnolʹd.

Soutenue en 2000

à Paris 9 .

    mots clés mots clés


  • Résumé

    Les polygones de klein sont des lignes polygonales qu'on peut associer aux convergents successifs d'un developpement en fraction continues. Elles correspondent, du point de vue geometrique, a la frontiere de l'enveloppe convexe des points entiers d'un secteur angulaire du plan. On nomme polyedre de klein la generalisation de cette notion en dimension superieure. Les voiles sont leurs frontieres. On donne dans une premiere partie une presentation sommaire de la geometrie entiere, c'est-a-dire de la geometrie des objets de r d definis par l'intermediaire de points a coordonnees entieres. On introduit notamment quelques invariants entiers, et on presente une methode permettant de les calculer. On demontre dans une seconde partie que sous certaines hypotheses les polyedres de klein sont effectivement des polyedres generalises, et on precise la structure des voiles dites rationelles. La troisieme partie est consacree a la description d'un algorithme de calcul des voiles en dimension 3. L'utilisation du programme correspondant permet par exemple de determiner le domaine fondamental des voiles dites periodiques. On montre dans une quatrieme partie quels rapports existent entre les bases de hilbert de certains monoides et les voiles de dimension 2. On donne enfin les resultats empiriques concernant la distribution de deux invariants entiers associes aux voiles de dimension 2 : l'aire entiere des faces bi-dimensionnelles, et le nombre de leurs points extremaux.


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Informations

  • Détails : 110 p.
  • Annexes : 25 ref.

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  • Bibliothèque : Université Paris-Dauphine (Paris). Service commun de la documentation.
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