Beta. Quasireseaux pour quasicristaux

• Auteur / Autrice : RUDOLF KREJCAR
• Direction : Jean-Pierre Gazeau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

A l'origine de ce travail de these se situe la volonte de decrire les structures quasicristallines en terme de beta-entiers z , c'est-a-dire en terme de cet ensemble de nombres reels dont l'ecriture en base (beta-developpements) ne possede pas de partie fractionnaire. Ces beta-entiers sont a considerer comme un outil pertinent, d'un point de vue a la fois mathematique et physique, pour les etudes quasicristallines actuelles. La these comporte trois parties, qui s'articulent autour d'un ensemble d'articles publies ou soumis. La premiere partie est une introduction au sujet et est consacree a la description de certaines classes d'ensembles de delaunay possedant un ordre aperiodique a longue distance. Nous y presentons trois classes d'ensembles discrets x dans r n qui possedent un ordre translationnel faible impose par des restrictions de plus en plus fortes sur leur ensemble de vecteurs intersites x - x. Nous donnons ensuite une breve description des ensembles modeles. Ces derniers sont consideres comme des modeles geometriques raisonnables en quasicristallographie. Les proprietes de diffraction des ensembles modeles sont aussi abordees. La classe particuliere de ce qu'on appelle les quasireseaux pisot-cyclotomiques ou pentacristaux est plus particulierement etudiee. Le concept de -entiers et de -quasireseau, ou est un nombre de pisot-vijayaraghavan unitaire, est developpe dans les quatre articles qui suivent cette premiere partie. Parmi les nombreuses proprietes des -entiers z , on peut extraire les suivantes : 1. Z = z quand , z, et z est un ensemble modele, 2. Il existe une loi additive naturelle + sur z telle que (z , +) est isomorphe a (z, +), 3. Une loi multiplicative sur z est aussi definie. Une connexion de