Mesure de mahler de polynomes de deux variables

par SANA BOUGHZALA HAFSA

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Marie-José Bertin.

Soutenue en 2000

à Paris 6 .

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  • Résumé

    Cette these porte sur la mesure de mahler de polynomes de deux variables. La premiere motivation est la recherche de polynomes de petite mesure. Le deuxieme probleme concerne la conjecture de boyd sur la relation entre la mesure de mahler et des valeurs speciales de l-fonctions ou de serie l de dirichlet. On se propose d'etudier deux familles de polynomes, dependants d'un parametre, et qui ne verifient pas les conditions de la conjecture de boyd. La premiere famille est donnee par les polynomes p l , s 0 = (x 2 + s 0x 1)y 2 lxy x 2 + s 0x + 1 qui ne s'annulent pas sur le tore. On montre que pour de telles familles, la derivee de la mesure logarithmique par rapport au parametre est proportionnelle a une periode de la jacobienne de la courbe p l , s 0 = 0 et verifie donc une equation de picard fuchs. Pour determiner ce type d'equations, on donne un programme en maple qui permet d'obtenir les equations de picard fuchs associees aux quartiques definies par y 2 = a(t)x 4 + b(t)x 2 + c(t), avec a, b et c des polynomes de t. Le calcul de la mesure de mahler des polynomes correspondants aux courbes singulieres nous permet de donner sous forme d'integrale les valeurs du dilogarithme tordu par le caractere x - 4 en des points algebriques. Quant a la deuxieme famille, elle est donnee par p l(x,y) = y 2x 2 + lyx 2 + x 2 yx + y 2 + ly + 1. On donne l'expression de la mesure de mahler de ces polynomes pour toutes les valeurs du parametre et on utilise le resultat de boyd lim n m(p(z,z n)) = m(p(z 1,z 2)) pour construire des polynomes d'une variable de petite mesure pour etendre une liste etablie parr boyd et mossinghoff. On montre que la derivee de la mesure par rapport a l n'est plus proportionnelle a une periode de differentielle de premiere espece mais elle s'exprime en fonction d'integrale elliptique de troisieme espece. Enfin, dans le dernier chapitre, on explique sur quelques exemples la conjecture de boyd et on etudie la relation entre ses deux conditions.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (67 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 65-67, 49 ref. . Annexe

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  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : T Paris 6 1994 262
  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : THESE 06417
  • Bibliothèque : Centre Technique du Livre de l'Enseignement supérieur (Marne-la-Vallée, Seine-et-Marne).
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : PMC RT P6 2000
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