Geodesiques fermees d'une surface sous contraintes homologiques

par Nalini Anantharaman

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de François Ledrappier.

Soutenue en 2000

à Paris 6 .

    mots clés mots clés


  • Résumé

    Ce travail propose plusieurs resultats de denombrement des geodesiques fermees d'une surface, avec des contraintes sur le nombre de rotation. On se place dans le cas d'une surface compacte, de genre superieur a 2, et de courbure strictement negative. Le nombre de rotation moyen, encore appele cycle asymptotique, est un vecteur dans le premier groupe d'homologie de la surface, qui represente l'enroulement moyen d'une geodesique autour de chaque anse. Nous commencons par ameliorer des resultats connus, selon lesquels le nombre de geodesiques fermees de longueur inferieure a l, et dont le nombre de rotation est fixe a l'interieur de la boule unite de la norme stable de la surface, croit exponentiellement en l : nous donnons un developpement asymptotique complet, en l, du nombre de ces geodesiques. Leur distribution spatiale, et en particulier leurs proprietes de recurrence, sont decrites par une mesure de gibbs. Nous utilisons les resultats classiques qui relient la distribution en longueur des geodesiques fermees aux proprietes ergodiques de ces mesures, puis au spectre d'un operateur de transition markovien. En deuxieme partie, nous nous interessons aux geodesiques dont le nombre de rotation appartient au bord de la boule unite. Les geodesiques se repartissent alors a proximite des ensembles d'aubry-mather. Les techniques utilisees precedemment ne s'appliquent plus, et la transition des distributions gibbsiennes vers les distributions minimisant l'action reste mal comprise. Nous obtenons cependant des estimations du nombre de ces geodesiques fermees, en nous appuyant sur les proprietes topologiques des ensembles d'aubry-mather : en particulier, la croissance est sous-exponentielle, et polynomiale dans les directions rationnelles.


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  • Détails : 1 vol. (97 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 94-97, 56 réf.

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  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
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