Formes différentielles sur une opérade et modèles algébriques pour les espaces topologiques

par David Chataur

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de Marc Aubry.

Soutenue en 2000

à Nice .


  • Résumé

    On construit des foncteurs [oméga?] de formes différentielles généralisées pour les algèbres sur une opérade [?]. Ces foncteurs sont l'analogue du [???] de Sullivan pour les algèbres différentielles graduées commutatives. Sous des hypothèses raisonnables (essentiellement que l'opérade choisie soit cofibrante), ces foncteurs permettent de calculer la cohomologie singulière à coefficients. En utilisant la théorie des modèles acycliques et la structure de catégorie modèle fermée pour les opérades, on montre que les foncteurs de formes différentielles généralisées sont tous munis d'une structure de [??]-algèbre. Ce résultat généralise ceux de V. Hinich et V Schechtman obtenus pour les cochaînes singulières. Les formes différentielles généralisées permettent de construire, de manière élémentaire, une paire de foncteurs adjoints de Quillen entre la catégorie des ensembles simpliciaux et de nombreuses catégories d'algèbres sur une opérade. Grâce à l'introduction de formes différentielles généralisées à coefficients locaux et à l'extension de ces théories aux ensembles bisimpliciaux, on donne une construction de la suite spectrale de Leray-Serre. Pour les [??]-algèbres cette suite spectrale nous permet de construire un modèle algébrique de la fibre d'une application simpliciale. Enfin on construit des opérations homotopiques (et des opérations homotopiques stables) pour les algèbres sur une opérade. Pour les [??]-algèbres, en utilisant des modèles algébriques des espaces d'Eilenberg-Mac-Lane, on construit une deuxième famille d'opérations qui correspondent aux opérations de Steenrod. Et on donne une modélisation des opérations cohomologiques secondaires, dont une application possible serait la démonstration du résultat d'Adams "On the non-existence of elements of Hopf invariant one".

  • Titre traduit

    Differential forms over an operad and algebraic models for topological spaces


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Informations

  • Détails : 74 p.
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 73-74. Résumé en français

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  • Bibliothèque : Université Nice Sophia Antipolis. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 00NICE5432
  • Bibliothèque : Université Nice Sophia Antipolis. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 00NICE5432bis
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