Etude asymptotique et transcendance de la fonction valeur en controle optimal. Categorie log-exp en geometrie sous-riemannienne dans le cas martinet

par EMMANUEL TRELAT

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de BERNARD BONNARD.

Soutenue en 2000

à Dijon .

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  • Résumé

    Le theme central de cette these est l'etude et le role des trajectoires anormales en theorie du controle optimal. On etudie l'optimalite des anormales pour des systemes affines mono-entree avec contrainte sur le controle, d'abord pour le probleme du temps optimal, puis pour un cout quelconque a temps final fixe ou non. On etend cette theorie aux systemes sous-riemanniens de rang 2. Ces resultats montrent que, sous des conditions generales, une trajectoire anormale est isolee parmi toutes les solutions du systeme ayant les memes conditions aux limites, et donc localement optimale, jusqu'a un premier point dit conjugue que l'on peut caracteriser. On s'interesse ensuite au comportement asymptotique et a la regularite de la fonction valeur associee a un systeme affine analytique avec un cout quadratique. On montre que, en l'absence de trajectoire anormale minimisante, la fonction valeur est sous-analytique et continue. S'il existe une anormale minimisante, on sort de la categorie sous-analytique en general. La presence d'une anormale minimisante est responsable de la non-proprete de l'application exponentielle, ce qui provoque un phenomene de tangence des ensembles de niveaux de la fonction valeur par rapport a la direction anormale. Dans le cas affine mono-entree ou sous-riemannien de rang 2, on decrit precisement ce contact, et on en deduit une partition de la sphere sous-riemannienne au voisinage de l'anormale en deux secteurs appeles secteur l et secteur l 2. La question de transcendance est etudiee dans le cas sous-riemannien de martinet ou la distribution est = ker (dz y 2/2dx). On montre que pour une metrique generale graduee d'ordre 0 les spheres de petit rayon ne sont pas sous-analytiques. Dans le cas general integrable les spheres de martinet appartiennent a la categorie log-exp.

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Informations

  • Détails : 200 p.
  • Annexes : 154 ref.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Bourgogne. Service commun de la documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Bibliothèque : Laboratoire de mathématiques Raphae͏̈l Salem. Bibliothèque de recherche en mathématiques.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TRE 17675
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