Quelques résultats mathématiques et simulations numériques d'écoulements régis par des modèles bifluides

par David Ramos

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Jean-Michel Ghidaglia.

Soutenue en 2000

à Cachan, Ecole normale supérieure .


  • Résumé

    L'objet de cette thèse est l'étude de quelques aspects de la notion d'hyperbolicite, plus particulierement de la relation qui existe entre celle-ci et la nature bien posee d'un probleme de cauchy obtenu a partir d'un systeme d'equations aux derivees partielles issu de la mecanique des fluides ou la realisation de la simulation numerique d'un tel probleme. Dans un premier temps, nous rappelons en quoi la notion de linearisation d'un systeme d'equations aux derivees partielles semble naturelle a l'etude de ce systeme et comment, de l'etude de ces problemes linearises, plus precisement de leur nature bien posee c'est-a-dire de leur stabilite, decoule la notion d'hyperbolicite. Nous etudions ensuite le cas particulier d'un modele a quatre equations pour un ecoulement bifluide comportant des termes de diffusion pour les equations de quantite de mouvement. Nous montrons alors que, bien que, pour ce systeme, l'ajout des termes de diffusion n'entraine pas l'hyperbolicite du modele obtenu, les problemes de cauchy construits a partir de la linearisation de ce systeme, autour d'un etat constant, sont desormais bien poses. Enfin, nous considerons le cas d'un modele a cinq equations pour un ecoulement bifluide. Ce modele ne necessite pas de loi de fermeture algebrique (equations d'etat ou lois tabulees) mais comporte une equation aux derivees partielles portant sur la pression. Le systeme ainsi obtenu n'est pas hyperbolique mais les valeurs propres de l'operateur d'advection sont toutes reelles. La simulation numerique d'un ecoulement regi par ce modele, pour le cas test du robinet de ransom, ne fait neanmoins pas apparaitre les instabilites numeriques que la nature mal posee du linearise nous faisait craindre et qui sont presentes dans les simulations realisees a partir du modele isentropique classique a quatre equations.


  • Résumé

    We study here some aspects of the hyperbolicity, in particular the relationship between hyperbolicity and well-posedness for Cauchy problem obtained from system of partial differential equations from the fluid dynamics or the numerical simulation of such a problem. We first recall how linearization appears in the study of a system of partial differential equations and how, the study of this linearized equations, particularly its well-posedness, leads to the introduction of hyperbolicity. We then are interested in particular by the case of a four equations model describing a two fluid flow with viscous terms. We prove that the Cauchy problems obtained with the linearized equations are well-posed even if they are non-hyperbolic. Finally, we consider a two fluid flow model with five equations. This model comprises instead of algebraic closure equation (e. G. Perfect gaz law). The advection operator is still non hyperbolic but all eigenvalues are real. The numerical simulation of Ransom faucet flow with this model does not show instability considering that the linearized system is non hyperbolic and as the isentropic four equations model does.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (108 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 103-104

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