Variétés lentes de systèmes dynamiques chaotiques considerés comme lents-rapides applications aux lasers

Slow manifolds of slow-fast chaotic dynamical systems-laser apllications

• Auteur / Autrice : Sofiane Ramdani
• Direction : Bruno Rossetto
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Electronique, Microélectronique, Optique et lasers, Optoélectronique
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Toulon
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université du Sud Toulon-Var. UFR de Sciences et Techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lasers

Équations différentielles

Chaos (théorie des systèmes)

Résumé

Ce mémoire porte sur les systèmes dynamiques autonomes lents-rapides. Nous les définissons initialement comme étant modélisés par des systèmes d'équations différentielles qui comportent un petit paramètre en facteur d'une composante de la vitesse. Pour étudier leurs solutions, dont certaines sont chaotiques, nous proposons une méthode d'analyse mathématique basée sur un raisonnement itératif qui permet d'aboutir, sous certaines conditions, à une équation analytique de la variété lente (V. L. ). Cette équation est obtenue en considérant que la V. L. Est l'enveloppe des pians localement orthogonaux au vecteur propre dit rapide à gauche du système tangent. Ce critère ne peut s'appliquer rigoureusement que dans les zones où la partie non linéaire du développement au premier ordre des équations n'altère pas le caractère attractif de la variété. On peul également obtenir l'équation de la V. L. En écrivant qu'elle est localement engendrée par les vecteurs propres ients. La méthode permet de caractériser géométriquement l'attracteur, et ou e la voie à une analyse qualitative globale de sa dynamique. Les résultats sont illustrés par les études du modèle de Van der Pol. Et de l'oscillateur électronique chaotique de Chua « cubique » et de Chua. Nous avons ensuite étendu cette méthode à une classe plus large de systèmes ne comportant pas de petit paramètre, mais dont le système tangent possède une valeur propre réelle négative dans un domaine de l'espace des phases. Ainsi, la méthode a été appliquée au modèle de Lorenz pour obtenir l'équation de la variété lente associée. Ce résultat nous a permis d'établir une comparaison avec le modèle de Chua d'un point de vue qualitatif. Enfin, la méthode a été utilisée pour établir l'équation de la V. L. De modèles lents-rapides issus de l'optique non linéaire, comme l'oscillateur paramétrique optique, et de modèles de laser dont le modèle de Lorenz-Haken.

In this work we deal with slow-fast autonomous dynamical systems. We initially define them as being modeled by differential equations systems having a small parameter muitiplying one of their velocity components. In order to analyze their solutions, which some are chaotic, we propose a mathematical analytic method based on an iterative approach. Under some conditions, this method allows us to give an analytic equation of the slow manifold (S. M. ). This equation is obtained by considering that the S. M. Is given by the plan locally orthogonal to the tangent system's left fast eigenvector. This result can be applied as long as the influence of the nonlinear terms of the velocity is lower than the fast component, fn this case, the behavior is the same as the so-called linear tangent system and the S. M. Remains attractive in spite of the nonlinear part of the velocity. It is also possible to compute the S. M. Equation by using the tangent system's slow eigenvectors. The method allows us to give a geometrical characterization of the attractor and a global qualitative description of its dynamics. The results are applied to the Van der Pol model, Chua's cubic model and Chua's model. The method used to compute the equation of the S. M. Has been extended to systems having a real and negative eigenvalue in a large domain of the phase space, as it is the case with Lorenz system. Indeed, we give the Lorenz S. M. Equation and this allows us to make a qualitative study comparing this model and Chua's model. Finally, we apply the results to give the S. M. Equation of nonlinear optical slow-fast systems as the optical parametric oscillator model and the laser model of Lorenz-Haken.