Developpement numerique de la formation tourbillon-vitesse-pression pour le probleme de stokes

par Stéphanie Salmon

Thèse de doctorat en Mathématiques. Analyse numérique

Sous la direction de François Dubois et de Michel Salaün.

Soutenue en 1999

à Paris 6 .

mots clés

Résumé

L'objectif de cette these est de developper une nouvelle methode numerique pour resoudre les equations de stokes bidimensionnelles sur des maillages formes de triangles quelconques en s'inspirant de la methode marker and cell qui necessite des maillages en quadrangles quasi-reguliers. L'idee proposee pour cela est de resoudre le probleme de stokes avec pour variables le tourbillon, la vitesse et la pression. Alors que les resultats numeriques obtenus sur des maillages reguliers sont satisfaisants, ceux sur des maillages non structures ne le sont pas. Il s'est avere lors de l'etude theorique que ce probleme est un probleme de stabilite. Une comparaison est ensuite menee avec la formulation fonction courant-tourbillon. On montre theoriquement et numeriquement que la formulation tourbillon-vitesse-pression est une generalisation de la formulation fonction courant-tourbillon permettant la prise en compte de conditions limites plus generales. On commence alors par proposer une stabilisation numerique des deux formulations par ajout de fonctions bulles en vitesse qui ameliorent considerablement les resultats numeriques. Ensuite, on montre que l'instabilite, due a des fonctions harmoniques discretes, peut etre levee en utilisant de veritables fonctions harmoniques. Ce point donne lieu a une methode numerique preliminaire utilisant un raffinement homothetique des maillages. On resout ainsi l'instabilite de la formulation fonction courant-tourbillon et on ameliore les precedents resultats de convergence connus de cette formulation. En particulier, on demontre que le tourbillon converge en moyenne quadratique avec une erreur d'ordre au moins un par rapport au pas du maillage. En dernier lieu, on applique la methode a la formulation tourbillon-vitesse-pression et on obtient de cette facon un nouveau mode de calcul de la pression qui s'avere convergent d'un point de vue experimental.

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