Développement numérique de la formation tourbillon-vitesse-pression pour le problème de stokes

par Stéphanie Salmon

Thèse de doctorat en Mathématiques. Analyse numérique

Sous la direction de François Dubois et de Michel Salaün.

Soutenue en 1999

à Paris 6 .

mots clés

Résumé

L'objectif de cette thèse est de développer une nouvelle méthode numérique pour résoudre les équations de Stokes bidimensionnelles sur des maillages formes de triangles quelconques en s'inspirant de la méthode marker and cell qui nécessite des maillages en quadrangles quasi-réguliers. L'idée proposée pour cela est de résoudre le problème de stokes avec pour variables le tourbillon, la vitesse et la pression. Alors que les résultats numériques obtenus sur des maillages réguliers sont satisfaisants, ceux sur des maillages non structures ne le sont pas. Il s'est avéré lors de l'étude théorique que ce problème est un problème de stabilité. Une comparaison est ensuite menée avec la formulation fonction courant-tourbillon. On montre théoriquement et numériquement que la formulation tourbillon-vitesse-pression est une généralisation de la formulation fonction courant-tourbillon permettant la prise en compte de conditions limites plus générales. On commence alors par proposer une stabilisation numérique des deux formulations par ajout de fonctions bulles en vitesse qui améliorent considérablement les résultats numériques. Ensuite, on montre que l'instabilité, due à des fonctions harmoniques discrètes, peut être levée en utilisant de véritables fonctions harmoniques. Ce point donne lieu a une méthode numérique préliminaire utilisant un raffinement homothétique des maillages. On résout ainsi l'instabilité de la formulation fonction courant-tourbillon et on améliore les précédents résultats de convergence connus de cette formulation. En particulier, on démontre que le tourbillon converge en moyenne quadratique avec une erreur d'ordre au moins un par rapport au pas du maillage. En dernier lieu, on applique la méthode à la formulation tourbillon-vitesse-pression et on obtient de cette façon un nouveau mode de calcul de la pression qui s'avère convergent d'un point de vue expérimental.

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