Methodes de controle stochastique et modele d'evaluation d'actifs financiers

par RICHARD ROUGE

Thèse de doctorat en Probabilités

Sous la direction de Nicole El Karoui.

Soutenue en 1999

à Paris 6 .

    mots clés mots clés


  • Résumé

    Ce travail realise sous la direction du professeur el karoui est constitue de deux parties independantes quoique non sans rapport. La premiere partie est consacree a l'etude d'une procedure d'evaluation du prix d'un actif contingent dans un marche soumis a des contraintes. Le prix d'un actif contingent est defini comme l'apport de richesse initiale a fournir a un usager qui poursuit un programme d'optimisation de portefeuille et accepte de delivrer cet actif a une date terminale, pour que l'utilite qu'il trouve a ceci soit au moins egale a celle qu'il trouverait sans delivrer d'actif. Nous rappelons tout d'abord comment la dualite entre systemes de prix et mesures martingales permet de reformuler le probleme de maniere plus utilisable. Nous montrons par ailleurs que le choix d'un processus (forward) d'actualisation adequat est d'une grande importance. Ensuite, l'utilisation de techniques d'equations differentielles retrogrades nous permet de resoudre elegamment le probleme, et d'obtenir aisement les proprietes du prix. Notons que les equations rencontrees sont a generateur quadratique et qu'elles ne sont pas sans rapport avec certains problemes lies a l'entropie. Un point important est que le prix ainsi obtenu reste heureusement compatible avec la fourchette donnee par les prix dits d'arbitrage. L'etude de son comportement asymptotique en fonction d'un parametre d'aversion au risque montre qu'a la limite il peut exister un prix equitable qui satisfasse l'acheteur et le vendeur de l'actif contingent. Nous montrons dans un modele legerement different a volatilite stochastique ou certains modeles d'evaluation font le choix arbitraire mais pratique d'une prime de risque nulle que ce prix equitable ne correspond a une pareille prime que si les processus de prix des actifs de base sont deja des martingales sous la probabilite de reference. Nous concluons cette etude en l'illustrant par quelques resultats numeriques. La seconde partie traite du rapport entre controle risque-sensitif de processus de diffusion a bruits de faible intensite et jeux differentiels. Un probleme risque-sensitif peut se reformuler naturellement par dualite en un probleme de controle. La limite deterministe est alors un probleme de calcul des variations. Quand le probleme initial est controle, la limite deterministe est un jeu differentiel. Les outils techniques simples que nous utilisons limitent la classe de processus que nous pouvons utiliser, mais permettent tout de meme d'obtenir l'existence de points selles pour des jeux deterministes a partir de celle, aisement demontrable, de jeux stochastiques. Nous decrivons ainsi le comportement asymptotique d'equations differentielles retrogrades dont le generateur degenere. Certains resultats obtenus dans la premiere partie nous permettent par contre de donner des reponses dans le cas plus difficile ou le controle est present dans la volatilite.


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Informations

  • Détails : 1 vol. (132 f.)
  • Annexes : Réf. bibliogr. en fin de parties, 67 réf.

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  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : T PARIS 6 1999 445
  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : THESE 06468
  • Bibliothèque : Centre Technique du Livre de l'Enseignement supérieur (Marne-la-Vallée, Seine-et-Marne).
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : PMC RT P6 1999
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