Structures conformes plates et entropies sur les varietes hyperboliques

par JULIEN MAUBON

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Gérard Besson.

Soutenue en 1999

à Grenoble 1 .

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  • Résumé

    L'objet de cette these est l'etude de l'espace des structures conformes plates sur les varietes hyperboliques compactes de dimension au moins 3. Contrairement a la structure hyperbolique, la structure conforme plate sous-jacente peut parfois etre deformee, notamment par pliage le long d'hypersurfaces totalement geodesiques plongees dans la variete. Nous donnons tout d'abord une preuve nouvelle et particulierement simple de l'existence de deformations dans le cas d'une seule hypersurface plongee, basee sur un argument cohomologique. Puis nous adaptons cet argument au cas ou la variete contient une hypersurface totalement geodesique s ramifiee le long d'une sous-variete de codimension 2. Il existe alors une obstruction quadratique a l'integrabilite des deformations infinitesimales ; nous l'analysons completement. Nous etudions aussi la correspondance entre ces deformations et l'espace de modules de polygones associes a la structure de ramification de s. Nous nous interessons ensuite aux proprietes dynamiques de ces deformations. En utilisant l'article de flaminio sur l'entropie metrique et l'entropie topologique du flot geodesique des metriques de courbure negative sur les varietes hyperboliques compactes de dimension au moins 3, nous identifions les deformations conformes plates de la metrique hyperbolique, si elles existent, aux directions suivant lesquelles l'entropie topologique et la difference de l'entropie topologique et de l'entropie metrique varient le moins. Nous etendons un resultat de flaminio en montrant qu'en toute dimension l'entropie metrique augmente le long de ces deformations, ce qui prouve qu'elle n'admet pas en general d'extremum en la metrique hyperbolique.

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Informations

  • Détails : 115 p.
  • Annexes : 41 ref.

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