Geometrie conforme et geometrie cr en dimensions 3 et 4

par FLORIN BELGUN

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de PAUL GAUDUCHON.

Soutenue en 1999

à l'ECOLE POLYTECHNIQUE .

    mots clés mots clés


  • Résumé

    Le premiere chapitre de la these est une extension en dimensions impaires de la theorie des twisteurs riemanniens. L'espace des twisteurs d'une variete conforme de dimension impaire est alors unne variete cr dont on etudie les proprietes. Le deuxieme chapitre de la these etudie la relation entre le tenseur de weyl w d'une 4-variete autoduale m et la geometrie de son espace de twisteurs z ; plus precisement, on montre que w s'identifie a la courbure du champ des alpha-cones de l'espace des ambitwisteurs b (qui est un ouvert d'un fibre en plans projectifs complexes au-dessus de z). Par consequent, l'existence d'une geodesique isotrope compacte, diffeomorphe a une courbe rationnelle, dans une complexification de m, n'est possible que si m est conformement plate. Ce dernier resultat est aussi valable si m est une 3-variete conforme. Dans le troisieme chapitre de la these on classifie completement les metriques localement conformement kahleriennes (l. C. K. ) a forme de lee parallele sur les surfaces complexes compactes. On donne des exemples explicits des metriques l. C. K. Sur toutes les surfaces de hopf. A part une certaine classe de surfaces d'inoue, il en resulte que toutes les autres surfaces complexes compactes a caracteristique d'euler nulle admettent des metriques l. C. K. On montre que cette classe de surfaces d'inoue n'admet jamais de metriques l. C. K. , ce qui prouve que, contrairement au cas kahlerien, la classe des surfaces l. C. K. N'est pas stable par petites deformations. A l'aide des resultats obtenus dans le chapitre 3, dans le chapitre 4 on classifie les structures riemanniennes de sasaki sur les varietes compactes de dimension 3. A chaque telle structure on associe une structure cr normale, qui admet, donc, un champ d'automorphismes infinitesimaux. On montre que, dans le cas d'une 3-variete compacte, non-recouverte par la 3-sphere, ce champ est unique a une constante pres, donc le groupe des automorphismes cr d'une telle variete est un cercle.


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Informations

  • Détails : 144 p.
  • Annexes : 84 ref.

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