Rigidite et flexibilite de complexes polyedraux a courbure negative

par EDOUARD LEBEAU

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Frédéric Paulin.

Soutenue en 1999

à École normale supérieure (Lyon) .


  • Résumé

    Cette these presente des proprietes de rigidite et de flexibilite de complexes polyedraux a courbure negative en petite dimension. La premiere partie, publiee en 1996 aux annales de l'institut fourier, est consacree a des complexes de dimension 1, des graphes et des arbres, et la seconde a des complexes de dimension 2, des immeubles de bruhat-tits hyperboliques. La premiere partie introduit la notion d'applications harmoniques entre graphes finis, avec un theoreme d'existence et d'unicite a transport parallele pres, analogue aux theoremes classiques de eells-sampson-hartman. Ces applications harmoniques donnent lieu ensuite a une nouvelle demonstration, elementaire, d'un theoreme de superrigidite. Theoreme de superrigidite (m. Burger, s. Mozes). Soit t et t deux arbres localement finis. Soit t un sous-groupe discret cocompact de aut(t), et comm() son commensurateur. Si : comm() aut(t) est une action minimale de comm() sur t telle que () soit non elementaire, alors admet un prolongement continu a tout le groupe des automorphismes aut(t). La deuxieme partie traite d'une grande famille d'immeubles fuchsiens : les immeubles i(, l) introduits par f. Haglund et n. Benakli dans leurs theses. Soit l un immeuble spherique fini de rang 2 (par exemple un graphe biparti complet ou le graphe d'incidence d'un plan projectif fini) et soit un entier pair superieur ou egal a 6 (a 4 si l n'est pas un graphe biparti complet). L'immeuble i(, l) est un complexe polygonal dont toute cellule est un -gone hyperbolique a angles /m, ou m est le diametre de l, et dans lequel tout sommet possede une base de voisinages homeomorphes au cone sur l. L'immeuble i(, l) est quasi-isometrique a un groupe de coxeter w(, l), qui agit sur lui avec un quotient compact. Un tel complexe polygonal possede de nombreux sous-complexes, appeles appartements, qui sont isomorphes au pavage du plan hyperbolique h 2 par -gones a angles /m. Nous montrons que i(, l) contient des plongements quasi-isometriques de h 2 qui ne sont pas a distance bornee d'une reunion finie d'appartements. Nous montrons que le groupe des automorphismes de i(, l) agit fortement transitivement sur l'ensemble de ses appartements. En particulier, un sous-groupe important, celui des automorphismes qui preservent le type, possede une bn-paire. Nous montrons que l'ensemble des appartements de i(, l) dont le stabilisateur dans w(, l) est cocompact est dense dans l'ensemble des appartements. Enfin nous construisons, en tout point du bord a l'infini de i(, l), un arbre qui joue le role d'un espace tangent.


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Informations

  • Détails : 1 vol. (72 p.)
  • Annexes : 66 réf

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