Application des méthodes de Krylov à la résolution de systèmes singuliers

par Laurent Smoch

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Hassane Sadok.

Soutenue en 1999

à Littoral , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) (laboratoire) .

Le président du jury était Claude Brezinski.

Le jury était composé de Hassane Sadok, Marc Prévost.

Les rapporteurs étaient Bernd Fischer, Gérard A. Meurant.


  • Résumé

    Nous étudions dans cette thèse les méthodes de sous-espaces de Krylov appliquées à la résolution des systèmes singuliers consistants. Les méthodes utilisées, qu'elles soient de Galerkin ou de semi-minimisation du résidu, construites à partir du processus de Hessenberg généralisé, font intervenir de nouveaux résultats quant à la détermination d'une solution de Krylov. Dans un premier temps, on montre dans le cadre de l'arithmétique exacte et de la précision finie que la détermination d'une solution de Krylov dépend du vecteur initial utilisé dans la méthode et, plus précisément, de sa décomposition sur les sous-espaces caractéristiques associés à la matrice du système étudié. Des précisions sont également apportées au niveau des dégénérescences rencontrées par la méthode GMRES ainsi que de nouveaux résultats sur sa version redémarrée. De nouvelles considérations sont introduites quant au traitement numérique de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires dépendant d'un paramètre. Dans certains cas, elles font intervenir des systèmes singuliers dont la matrice admet une multiplicité géométrique égale à 1, condition suffisante à l'obtention d'une solution de Krylov. Tous ces exemples pratiques et leur traitement numérique montrent par conséquent qu'il existe des alternatives aux dégénérescences rencontrées par les algorithmes utilisés


  • Résumé

    In this thesis we study the Krylov subspace methods applied to the solution of consistent singular systems. The methods in use today which are Galerkin methods or minimal residual seminorm methods, built help to the Hessenberg generalized process, call in some new results about the determination of a Krylov solution. We show first, that in exact arithmetic or in finite precision, the determination of a Krylov solution depends on the initial vector used in the method and more precisely, on its decomposition on the characteristics subspaces associated to the matrix of the studied system. Some precision are also given about the breakdowns occurring in the GMRES method and on its restarted version. Some new considerations are brought about the numerical treatment of some nonlinear partial differential equations depending on a parameter. In some cases, they call in singular systems whose matrix admits some Jordan blocks associated to the zero eigenvalue of maximal size 1, which is a sufficient condition to obtain a Krylov solution. All these practical examples and their numerical treatment prove therefore that there exists alternatives to the breakdowns occurring in the algorithms.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (II-129 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 125-129.

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  • Bibliothèque : Université du Littoral-Côte d'Opale (Calais, Pas-de-Calais). Bibliothèque. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
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  • Accessible pour le PEB
  • Cote : MF-1999-SMO
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