Cyclicité finie des boucles homoclines dans R#3 non dégénérées avec valeurs propres principales réelles en résonance 1:1

Finite cyclicity of finite codimension nondegenerate homoclinic loops with real eigenvalues in R#3

• Auteur / Autrice : Louis-Sébastien Guimond
• Direction : Robert H. Roussarie
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Dijon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Möbius, Fonction de

Développements asymptotiques

Orbites, Méthode des

Bifurcation, Théorie de la

Champs vectoriels

Systèmes dynamiques

Résumé

Dans cette thèse nous étudions les bifurcations des boucles homoclines des champs de vecteurs dans R#3 qui sont non dégénérées au sens de Deng, twistées et dont les valeurs propres principales sont en résonance 1:1. De tels champs de vecteurs possèdent une 2-variété Mλ invariante dépendant du paramètre et contenant la boucle homocline Γ #0 pour la valeur nulle du paramètre ainsi que toutes les orbites périodiques créées par perturbations de Γ #0. Cette variété est un anneau (cas non twisté) ou un ruban de Möbius (cas twisté). La dynamique est alors donnée par une application unidimensionnelle Pλ (t) et toutes les orbites périodiques sont de périodes 1 ou 2. Notre résultat principal est le calcul d'une borne explicite de la cyclicité absolue de ce type de boucle homocline dans le cas twisté, i. E. Le nombre d'orbites périodiques générées par perturbation. Pour démontrer ce résultat nous calculons le développement asymptotique d'une fonction Vλ (t) liée à P#2λ t) -t, puis en bornons le nombre de zéros. Dans notre premier article, nous considérons les cas de petites codimensions. Pour calculer la borne, nous projetons la dynamique sur Mλ puis appliquons les techniques exposées par Jebrane et Mourtada pour l'étude de la boucle en huit dans le plan. Dans le second article, nous étudions le cas général. Dans ce cadre nous ne pouvons projeter la dynamique sur Mλ. Les calculs pour obtenir la borne sont alors beaucoup plus techniques et reposent sur une généralisation des techniques exposées par Jebrane et Mourtada ainsi que sur la théorie des fewnomials de Khovanskii permettant de réduire l'étude d'un système d'équations transcendantes à l'étude de systèmes polynomiaux non-dégénérés.