Sur l'irregularite d'un systeme differentiel holonome le long d'une courbe plane

par GUILLAUME BREVET

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Jean-Michel Granger.

Soutenue en 1999

à Angers .

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  • Résumé

    Z. Mebkhout a defini le faisceau d'irregularite d'un systeme differentiel holonome le long d'un sous-espace analytique. Cet objet etait apparu dans le cas particulier du module constitue des fonctions holomorphes sur une variete analytique complexe, comme l'obstruction au theoreme de comparaison de grothendieck, qui traduit en definitive la regularite du faisceau structural. Le faisceau d'irregularite generalise aussi en dimensions superieures l'espace d'irregularite de b. Malgrange dans le cas d'une variable. Les faisceaux d'irregularite ont la propriete de perversite mais certains faisceaux pervers ne sont pas l'irregularite de systemes differentiels. Ceci pose le probleme de la determination de l'image essentielle du foncteur irregularite. Dans ce travail nous etudions ce probleme lorsque l'hypersurface est une courbe plongee dans une surface. Dans un premier temps, nous donnons un contre-exemple a l'essentielle surjectivite : nous considerons l'irregularite sur la surface d'eclatement de l'origine du plan le long de la transformee totale d'une courbe et nous exhibons un faisceau pervers d'image directe non-perverse. Nous prouvons ensuite, en utilisant la desingularisation d'une courbe plane, que l'irregularite restreinte au germe d'une courbe epointee irreductible fournit un foncteur essentiellement surjectif vers les systemes locaux sur la courbe epointee. Nous calculons egalement de maniere precise les faisceaux de cohomologie de l'irregularite de certains d-modules du type exponentielle le long d'un croisement normal. Ces calculs permettent de trouver des systemes differentiels tels que la monodromie du systeme local associe ait pour valeurs propres les racines de l'unite. Enfin, nous montrons le resultat suivant : l'irregularite le long d'un germe de courbe lisse est un foncteur essentiellement surjectif a valeurs dans les germes de faisceaux pervers monodromiques. La preuve de ce theoreme repose sur l'equivalence de categories entre les faisceaux pervers monodromiques et une categorie de diagrammes d'espaces vectoriels de dimension finie. Dans cette derniere categorie, les objets indecomposables sont connus. Tout le travail consiste donc a les atteindre, ce qui est fait par des arguments de devissage en exploitant le caractere exact du foncteur irregularite.


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Informations

  • Détails : 84 p.
  • Annexes : 22 ref.

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