Convergence en loi d'EDS et d'EDS Rétrogrades : application à l'homogénéisation d'EDP linéaires ou semilinéaires

par Guillaume Gaudron

Thèse de doctorat en Sciences

Sous la direction de Étienne Pardoux.

Soutenue en 1999

à Aix-Marseille 1 .


  • Résumé

    Certaines solutions d'edp paraboliques ou elliptiques, lineaires ou semilineaires, peuvent s'obtenir par l'intermediaire de processus stochastiques solutions d'eds. Le but de cette these est de combiner ces formules probabilistes avec des resultats de convergence en loi, pour etablir des theoremes limites pour certaines edp a coefficients aleatoires ou periodiques. La premiere partie de ce travail (chapitres 2 et 3) traite d'un exemple de convergence de diffusions soumises a un champ de vitesse turbulent aleatoire qui depend d'un petit parametre. En etablissant leur convergence en loi, et grace au lien classique entre les edp et les diffusions, nous retrouvons les lois d'echelles anomales mises en evidence par avellaneda et majda pour ce modele simple de turbulence et nous ameliorons les resultats concernant les edp associees. Ce qui est original c'est de profiter du fait que les diffusions sous-jacentes sont explicites pour d'une part etablir la convergence en loi sans utiliser une forme de theoreme central-limite et d'autre part identifier la limite. La deuxieme partie (chapitres 4 a 6) comporte l'etude de la convergence en loi d'edsr associees a des edp paraboliques ou elliptiques semi-lineaires. La encore, nous profitons du lien existant entre les edsr et certains types de solutions d'edp non lineaires pour obtenir des resultats d'homogeneisation pour ces edp. L'originalite de ce travail, outre le fait qu'il utilise la theorie recente des edsr, est d'essayer de savoir pour quel type de non-lineaire on peut obtenir des resultats interessants sans supposer de comportement a priori sur la forme de l'equation limite. L'approche est tres naturelle et la methode employee s'applique a des solutions d'edp a coefficients aussi bien aleatoires que periodiques. L'idee de ce travail est que l'on peut autoriser dans l'edp une fonction nonlineaire de la solution et de son gradient qui soit un polynome du second degre par rapport au gradient.


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