Solutions explicites d'équations aux dérivées partielles en termes de courants résiduels

par Stéphane Rigat

Thèse de doctorat en Sciences

Sous la direction de Bernard Coupet.

Soutenue en 1999

à Aix-Marseille 1 .


  • Résumé

    Dans la premiere partie de cette these, on donne une extension des travaux de berndtsson, passare et yger sur le principe fondamental d'ehrenpreis-malgrange-palamodov. Ces auteurs ont etabli une formule de representation integrale explicite, en termes de courants residuels, des solutions de systemes d'equations aux derivees partielles a coefficients constants homogenes dans un ouvert strictement convexe regulier de r n. L'objet de la premiere partie de cette these est de donner, dans le meme esprit, une representation integrale des solutions de systemes d'equations aux derivees partielles avec second membre. Les techniques mises en oeuvre dans cette these pour etudier ce probleme sont des techniques d'analyse complexe : courants residuels de coleff-herrera-lieberman-passare, formules de representation integrale et de division d'andersson-berndtsson-passare, theorie des integrales oscillantes de hormander. De plus, afin de montrer que les formules de representation obtenues n'ont pas uniquement un interet purement theorique, on resoud les equations de cauchy-riemann dans un domaine strictement convexe regulier de c 2 et on obtient en particulier une nouvelle formule de representation de type cauchy-green-pompeiu. Dans la deuxieme partie de cette these, nous etudions le probleme de cauchy holomorphe non homogene, lineaire a coefficients constants. Dans ce sens, une formule de representation de la solution explicite en termes de courants residuels est obtenue, ainsi qu'une determination de l'ensemble de definition de la solution, le tout apres avoir donne une version explicite analogue au cas reel du principe fondamental dans le cas complexe holomorphe. Une generalisation directe de ces techniques nous donne alors la formule explicite de la solution du probleme de goursat.


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