Validation du calcul sur ordinateur : application de la théorie des singularités

par Abderrazak Ilahi

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées aux sciences sociales

Sous la direction de Françoise Chatelin.

Soutenue en 1998

à Toulouse 1 .


  • Résumé

    La détermination des spectres de matrices occupe une place importante dans le calcul scientifique. Le calcul sur ordinateur est accompagné de perturbations inévitables sur les données, qui sont causées par la précision finie. Dans ce document, nous développons des notions théoriques permettant d'analyser les erreurs qui résultent sur les valeurs propres d'une matrice de la présence de ces perturbations inévitables. Ces notions théoriques sont aussi applicables pour analyser et valider l'approche du calcul qualitatif utilisée dans la boite à outils d'analyse d'erreurs précise. Nous étudions en détail le comportement des valeurs propres d'une famille de perturbations homotopiques, grâce à des nouvelles notions telles que valeur de Puiseux, distance à la couche et structure de Jordan influente. Ces notions permettent de montrer le lien entre la distance à la couche et la fiabilité de l'analyse asymptotique. Si la taille des perturbations causées par le calcul n'est pas négligeable par rapport à la distance à la couche, la structure de Jordan de la matrice a ne permet pas de faire une analyse asymptotique fiable. Par déploiement homotopique, on peut déterminer la structure de Jordan la plus influente au voisinage de la matrice a. Cette structure de Jordan la plus influente permet, elle, d'estimer, d'une manière fiable et pratique, l'erreur commise sur les valeurs propres de a calculées en précision finie.

  • Titre traduit

    Assessment of finite precision computations : application of the theory of singularities


  • Résumé

    The computation of spectra of matrices plays an important role in scientific computing. However, the finite precision arithmetic of the computers induces unavoidable perturbations. In this document, we develop theoretical notions for analysing the errors resulting on the eigen values when the matrix is perturbed. These theoretical notions are also useful for the assessment of the qualitative computation approach used in the toolbox precise. We study in depth the behaviour of the eigen values of a family of homotopic perturbations, thanks to new notions such as the Puiseux value, the distance to the stratum and the influent Jordan structure. In this theoretical study, we demonstrate the link between the distance to the stratum and the reliability of the asymptotic analysis. If the size of the perturbation of the matrix a cannot be neglected with respect to the distance to the stratum, the Jordan structure of a will be pessimistic or even misleading. The influent Jordan structure in the vicinity of a can be determined with homotopic perturbations. This influent Jordan structure allows us to estimate, in a reliable and accurate way, the errors on the eigen values of a when they are computed in finite precision.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (200 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr.

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  • Bibliothèque : Université Toulouse 1 Capitole. Service commun de la documentation. Bibliothèque de l'Arsenal.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : TG1001-1998-29
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