Convergences fonctionnelles et processus alpha-stables

par MICHEL GUILLEMEAU

Thèse de doctorat en Mathématiques et application

Sous la direction de JEAN MEMIN.

Soutenue en 1998

à Rennes 1 .

    mots clés mots clés


  • Résumé

    Ce travail vise a presenter divers aspects de la convergence fonctionnelle en loi des processus cadlag (continus a droite et admettant des limites a gauche) ; on etudie plus specifiquement les situations dans lesquelles on peut obtenir a la limite des processus stables d'indice strictement compris entre 0 et 2. Apres un chapitre consacre aux rappels concernant la theorie generale des semimartingales, on introduit - sur l'exemple du probleme de reflexion de skorokhod etendu au cas des processus cadlag - deux topologies adaptees a la convergence fonctionnelle des processus cadlag. On montre ensuite un theoreme analogue au theoreme de donsker, dans la situation ou l'on a une suite de variables aleatoires independantes verifiant certaines conditions sur leurs queues de probabilite. On aboutit a la limite a un processus de levy stable. La methode employee dans ce cas permet ensuite d'obtenir la convergence de formes quadratiques particulieres. On presente de plus un resultat general mettant en relation une propriete de la fonction caracteristique d'une variable aleatoire et le fait que cette variable appartienne au domaine d'attraction d'une loi stable. Ce dernier resultat donne lieu a une caracterisation de l'appartenance d'une suite de pai (processus a accroissements independants) au domaine d'attraction d'un pai stable. Dans le chapitre suivant, on prouve la convergence fonctionnelle en loi de sommes, composees de produits de rotations aleatoires appliques a des vecteurs aleatoires, vers des processus stables. On compare pour cela ces sommes a des integrales stochastiques dont on montre la convergence. Les deux derniers chapitres sont consacres a l'etude de l'equation en loi x#l = ax + b d'une part lorsque e|a|# = 1 pour un certain compris entre 0 et 2 et d'autre part lorsque e|a|#a < 1. Dans ces deux chapitres, on montre, avec des conditions adaptees a chaque cas, que la solution d'une telle equation est dans le domaine d'attraction d'un processus stable.


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Informations

  • Détails : 124 P.
  • Annexes : 52 REF.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Rennes I. Service commun de la documentation. Section sciences et philosophie.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TA RENNES 1998/148
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