Les attracteurs des systemes dynamiques dissipatifs de lorenz et de lienard : nombre, forme et localisation

• Auteur / Autrice : SEBASTIEN NEUKIRCH
• Direction : Hector Giacomini
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Le sujet de la these se situe dans le cadre de l'etude des equations differentielles ordinaires et des systemes dynamiques non lineaires. La these presente une etude des attracteurs des systemes dynamiques dissipatifs. En particulier, l'attracteur chaotique de lorenz et les cycles limites des systemes de lienard. La premiere partie est dediee au systeme de lorenz. Ce systeme est obtenu par simplification des equations de boussinesq formulees dans le cadre de la convection de rayleigh-benard. Le systeme de lorenz est important car il est le premier a avoir exhibe un comportement chaotique. On utilise des sections transverses (courbes ou surfaces qui ne sont traversees par le flot que dans un seul sens sur toute leur etendue) pour acquerir de l'information sur l'attracteur chaotique du systeme. Pour cela, on utilise les forme algebriques des integrales du mouvement pour trouver des equations de sections transverses. L'existence des ces sections transverses pour des plages de valeurs des parametres nous permet de donner des limites algebriques a l'attracteur chaotique du systeme quand celui-ci existe mais aussi de donner des plages de valeurs des parametres pour lesquelles il n'y a pas de comportement chaotique possible. La deuxieme partie presente un algorithme simple qui donne acces au nombre de cycles limites des systemes de lienard. En plus du nombre, on obtient une approximation algebrique de l'equation ainsi que la multiplicite de chacun de ces cycles. Le grand interet de cet algorithme est qu'il ne repose pas sur l'existence d'un petit parametre (l'algorithme n'est pas perturbatif) et qu'il change le probleme initial de resoudre une equation differentielle non-lineaire en un probleme algebrique de compter les racines d'un polynome a une variable. On obtient aussi grace a cet algorithme des approximations algebriques des courbes de bifurcation (de hopf, saddle-node, heterocline) des systemes de lienard.