Singularites precisees pour les ondes conormales semi-lineaires

par GILLES LASCHON

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes. Physique

Sous la direction de Alain Piriou.

Soutenue en 1998

à Nice .

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  • Résumé

    L'interaction de deux ondes conormales simples transverses pour un systeme semi-lineaire du premier ordre de taille quelconque a ete precisee par h. Bougrini, a. Piriou et j. P. Varenne qui ont etudie les symboles principaux lorsque le nombre m d'hypersurfaces caracteristiques passant par l'arete est egal a la taille m du systeme. Cette etude est reprise en supposant m < m, motivee par des exemples de g. Metivier et j. Rauch qui montrent que si les deux ondes incidentes sont regulieres (infiniment derivables) par morceaux, alors, a la difference de ce qu'ils ont prouve dans le cas m = m, la solution peut ne pas etre reguliere par morceaux apres interaction (apparition de termes logarithmiques). On commence par etablir pour les symboles principaux un comportement analogue a celui du cas m = m. L'obstruction a la propagation de la regularite par morceaux est donc a chercher plus loin dans les developpements asymptotiques des symboles. Cette etude est menee a bien dans deux exemples inspires de g. Metivier et j. Rauch : l'un avec m = 5, m = 3, l'autre avec m = 4, m = 2. Notre approche microlocale met en evidence, grace a un calcul symbolique modulo les symboles decrivant la regularite par morceaux, le role des poles complexes responsables de la perte de propriete de transmission, ainsi que le type d'interaction requis pour que les singularites logarithmiques apparaissent non seulement a l'arete mais se propagent au dela. Enfin on considere le cas d'une equation scalaire semi-lineaire d'ordre m, aussi bien pour m = m que pour m < m. Cette etude necessite une preparation algebrique specifique puisqu'on ne dispose plus de proprietes de polarisation evidentes comme dans le cas des systemes. On etablit ainsi les expressions des symboles principaux dans le cas general, ainsi que dans le cas ou la semi-linearite ne depend que des derivees jusqu'a l'ordre m - 1 - k, k > 0.


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  • Détails : 159 P.
  • Annexes : 25 REF.

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