Phénomènes de rigidité pour un réseau dans un produit de groupes

par Nicolas Louvet

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Bachir Bekka.

Soutenue en 1998

à Metz .


  • Résumé

    Une classe remarquable de groupes localement compacts a été découverte par Kazhdan en 1967. Il s'agit des groupes possédant la propriété (t)(appelés aussi groupes de Kazhdan). Ces groupes jouissent d'innombrables propriétés de rigidité et ont des applications en géométrie, théorie des graphes, algèbre d'opérateurs, un groupe g localement compact possède la propriété (t) de Kazhdan si la représentation triviale de dimension un de g est un point isolé dans le dual unitaire de g. De façon équivalente, si le groupe g est dénombrable à l'infini alors g possède la propriété (t) si et seulement si le premier espace de cohomologie de g a coefficients dans une représentation unitaire quelconque est trivial. De plus, un réseau (i. E. Un sous-groupe discret de covolume fini) dans un groupe de Kazhdan possède également la propriété (t). Dans ce travail, nous obtenons, pour un réseau irréductible dans le produit direct de deux groupes localement compacts, des résultats du type propriété (t) affaiblie : annulation du premier espace de cohomologie pour une famille de représentations ou isolation de la représentation triviale dans un sous ensemble naturel de représentations, ainsi que des résultats du type super-rigidité des représentations : telles représentations du réseau proviennent de restrictions de représentations du groupe ambiant. Nous donnons également quelques conséquences de ces résultats (absence de trace sur la c*-algèbre du réseau, rigidité des représentations de dimension finie) ainsi qu'une liste de groupes pour lesquels nos résultats s'appliquent.

  • Titre traduit

    Rigidity phenomenons for lattices in product of groups


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Informations

  • Détails : 1 vol. (81 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. f. 78-81

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