Sur des généralisations P-adiques du groupe des difféomorphismes du cercle

par Christophe Kapoudjian

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques pures

Sous la direction de Claude Roger.

Soutenue en 1998

à Lyon 1 .

Le jury était composé de Claude Roger.


  • Résumé

    Pour tout entier p 2, yu. A. Neretin a defini un groupe de transformations n p, qu'il a pense comme un analogue combinatoire du groupe diff +(s 1) des diffeomorphismes preservant l'orientation du cercle: si on note t p l'arbre de bruhat-tits dont tous les sommets sont de valence p + 1, et a p son absolu, c'est-a-dire l'ensemble de ses bouts, le groupe n p des spheromorphismes est un groupe d'homeomorphismes de a p preservant la structure spheroidale naturelle de a p. L'absolu est homeomorphe a un ensemble de cantor, et lorsque p est premier, il s'identifie naturellement a la droite projective sur le corps des nombres p-adiques ; n p contient alors le groupe des bijections localement analytiques de q pp 1. Pour tout p 2, n p contient le groupe aut t p des automorphismes de l'arbre t p, et une famille de groupes remarquables : les groupes de higman-thompson f p g p m p. On montre que n p est engendre par deux groupes simples : d'une part le groupe aut +t p des automorphismes de l'arbre preservant sa decomposition en types, d'autre part le groupe derive de m p. En adaptant des lemmes d'epstein, on demontre que le groupe des spheromorphismes n p est simple, resultat rappelant le theoreme de m. R. Herman sur la simplicite de diff +(s 1). Puis nous precisons des theoremes de representation de n p et de ses sous-groupes, enonces par yu. A. Neretin, dans des (g,k)-paires. En particulier, il existe des analogues des representations de plus hauts poids de diff +(s 1) pour une version orientee de n p. Nous calculons ensuite les deuxiemes groupes d'homologie, au sens d'eilenberg-mclane, des groupes de higman-thompson m p, a l'aide d'une suite spectrale associee a l'homologie equivariante de m p, pour son action sur un certain complexe simplicial, defini par m. Stein et k. Brown. Plus loin, le meme outil permet de demontrer que n p est q-acyclique (ce qui etait connu pour m p). Nous identifions alors en termes cohomologiques une extension centrale (non-triviale lorsque p est impair) de m p, de noyau z/2z. Cette derniere se prolonge en une extension non-triviale du groupe des spheromorphismes n p, pour tout p 2. On montre qu'elle peut etre obtenue comme l'image reciproque d'une extension de pressley-segal reduite, ce qui poursuit l'analogie avec diff +(s 1).


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Informations

  • Détails : 1 vol. (173 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 168-173

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  • Cote : MF-1998-KAP
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