Algèbre d'opérateurs différentiels sur la droite projective : algèbres d'endomorphismes des idèaux à gauche

Diffientials operators algebra in projective line endomorphisms algebras of left ideals

• Auteur / Autrice : Khalil Alayoubi
• Direction : Marc Chamarie
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marc Chamarie

Mots clés

Mots clés contrôlés

Opérateurs différentiels

Espaces projectifs

Endomorphismes (théorie des groupes)

Résumé

L'objet de ce travail est l'etude des ideaux a gauche i de l'algebre d(p#1) des operateurs differentiels de la droite projective p#1, et de leurs algebres d'endomorphismes a = end(i). Pour la droite affine a#1. Motives par ces resultats nous avons cherche a definir des invariants numeriques des algebres a, suffisants pour esperer une classification. Dans le premier chapitre, on associe a chaque algebre du type a = end(i) un nombre entier, la codimension dont on prouve apres une longue etude inspiree des methodes de j. Dixmier, l'invariance par isomorphisme. Le resultat essentiel est qu'un isomorphisme entre deux algebres end(i) et end(j) s'obtient par composition d'un automorphisme de d(p#1) et d'une conjugaison. Dans le second chapitre, on exhibe deux autres invariants r et s, qui nous permettent de comprendre en particulier la structure des ideaux des algebres a et d'obtenir une classification complete modulo l'equivalence de morita. Inspires par le travail de r. Cannings et m. Holland, nous interpretons les algebres end(i) comme algebres d'operateurs differentiels sur les faisceaux d'ideaux f des courbes rationnelles unibranches. On montre que les invariants r et s proviennent de la cohomologie du faisceau f. Les faisceaux monomiaux sont etudies en detail et, dans ce cas les relations entre les trois invariants sont entierement decrites. Nous terminons par quelques calculs sur des exemples et par des questions ouvertes.