Rôle des oscillations dans quelques problèmes d'analyse non-linéaire

par Frédéric Oru

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Yves Meyer.

Soutenue en 1998

à Cachan, Ecole normale supérieure .

mots clés

• équation dérivée partielle
• équation non linéaire
• équation Schrödinger
• équation Navier Stokes
• Oscillation non linéaire
• Espace
• Transformation ondelette
• Espace Besov
• Cd
• Partial differential equation
• Non linear equation
• Schrödinger equation
• Navier Stokes equation
• Non linear oscillation
• Sobolev space
• Wavelet transformation
• Besov space
• Cd
• Ondelettes
• Navier-Stokes, Équations de
• Hardy-Littlewood, Méthode de
• Oscillations non linéaires
• Sobolev, Espaces de
• Schrödinger, Équation de

Résumé

Dans ce travail, nous étudions le rôle joue par la présence d'oscillations dans trois questions d'analyse non-linéaire. Dans une première partie, nous présentons une version précisée des inégalités de Sobolev, équilibrée pour des données fortement oscillantes. Ces nouvelles inégalités font intervenir la norme d'un espace de Besov d'indice négatif, laquelle fournit une mesure du caractère oscillatoire des fonctions. La seconde partie concerne l'équation de Navier-stokes. Nous montrons d'une part que l'operateur bilinéaire associe a la formulation Mild, malgré toutes les cancellations qu'il contient, n'est pas continu dans l'espace des fonctions continues en temps a valeurs dans l#3(r#3), justifiant ainsi l'alternative proposée par Kato pour résoudre l'équation de Navier-stokes dans cet espace. D'autre part, nous démontrons une propriété de stabilité par passage à la limite faible pour les équations de Navier-stokes. Dans la dernière partie, nous généralisons un théorème de t. Cazenave et f. Weissler concernant l'existence de solutions auto similaires pour une équation de Schrödinger non-linéaire.

Titre traduit

Role of oscillations in some problems arising from nonlinear analysis

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