Optimisation de forme pour le controle optimal de systemes gouvernes par des equations aux derivees partielles

par HERVE MAILLOT

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Antoine Henrot.

Soutenue en 1998

à Besançon .

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  • Résumé

    Cette these est consacree a l'analyse de plusieurs problemes d'optimisation associes a l'equation des ondes et a sa version stationnaire. Dans le chapitre 2, on traite d'abord un probleme de controle optimal de l'equation des ondes lineaire, le controle etant distribue sur un sous-ensemble donne et inclus dans le domaine sur lequel est ecrite l'equation d'etat. L'existence et l'unicite d'un controle optimal sont obtenues par des arguments classiques de la theorie du controle. Dans le cas stationnaire, on prouve que le controle optimal coincide avec l'etat optimal associe. Le systeme d'optimalite se reduit alors a une equation scalaire elliptique. Dans le chapitre 3, on se consacre a l'etude de deux problemes d'optimisation de forme associes a une equation elliptique dans laquelle le support du controle varie dans un ensemble admissible de parties mesurables. Quand celles-ci sont soumises a une contrainte de perimetre, un argument de compacite permet de prouver l'existence d'un domaine optimal i. E. Qui minimise une fonctionnelle representant l'energie du systeme. Lorsque la contrainte porte sur le volume, on introduit une formulation relaxee pour laquelle on a existence d'un element optimal qui n'est plus, en general, un domaine. On donne une caracterisation de ce minimiseur ainsi que des conditions suffisantes sur les donnees (second membre de l'equation) pour que cet element optimal soit un domaine. Le chapitre 4 reprend l'etude precedente dans le cas radial. On y donne des resultats d'existence de solutions (domaine ou non) en utilisant les conditions d'optimalite etablies au chapitre 3 ainsi que des arguments de symetrisation. Le chapitre 5 developpe un traitement numerique du probleme relaxe sous contrainte de volume. L'algorithme utilise fait un usage intensif des conditions necessaires et suffisantes d'optimalite et fournit a moindre coup la forme et la localisation de la solution lorsque c'est un domaine. Dans le dernier chapitre, on s'interesse au choix optimal du coefficient d'amortissement dans l'equation (lineaire) des ondes amorties. Les criteres considere son l'energie totale du systeme et son supremum sur l'espace d'energie. Lorsque celle-ci existe, on analyse la dependance de la solution optimale vis-a-vis des conditions initiales. On peut ainsi exhiber explicitement une classe de conditions initiales pour laquelle le meilleur coefficient d'amortissement constant est optimal.


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Informations

  • Détails : 101 p.
  • Annexes : 55 ref.

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  • Bibliothèque : Bibliothèque universitaire Sciences - Sport (Besançon).
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