Division et multiplication modulaire en représentation modulaire

par Laurent-Stéphane Didier

Thèse de doctorat en Sciences

Sous la direction de Jean-Claude Bajard.

Soutenue en 1998

à Aix-Marseille 1 .

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  • Résumé

    La representation modulaire permet de substituer les calculs sur de tres grands nombres par des operations sur de petites valeurs pour la determination de l'addition et de la multiplication. Ces operations peuvent etre effectuees tres rapidement en parallele. Toutefois la division et la multiplication modulaire sont plus difficiles a realiser. Nous presentons un etat de l'art sur la representation modulaire ou nous abordons differentes methodes de conversion et leurs implementations. Nous traiterons egalement de diverses architectures proposees dans la litterature scientifique pour le calcul des additions et multiplications dans cette representation. La division que nous proposons permet de calculer le quotient de deux nombres en representation modulaire avec une complexite en temps de o(n log n) et une complexite en espace de o(n). Elle a un cout similaire a celui des divisions dans des representations a numeration de position (srt, division restaurante). Cette avancee permet de relancer l'interet de la representation modulaire pour effectuer des calculs rapides. La multiplication modulaire en representation modulaire proposee reprend les principes de la multiplication de montgomery dont les complexites en temps et en espace sont comparables. Nous montrons que la representation modulaire et notre multiplication modulaire peuvent etre utilisee sans conversion a des fins cryptographiques avec certains avantages sur les representations redondantes. Ces algorithmes rendent possible l'emploi de cette arithmetique dans un grand nombre d'applications.

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