Principe local-global sur le corps des fonctions d'une courbe réelle : espaces principaux homogènes et surfaces rationnelles

Local-global principle over the function field a real curve : principal homogeneous spaces and rational surfaces

• Auteur / Autrice : Antoine Ducros
• Direction : Jean-Louis Colliot-Thélène
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Soit k le corps des fonctions d'une courbe integre, projective et lisse c definie sur un corps reel clos r. Pour tout point ferme p de c, on note kp le complete correspondant. On dit qu'une famille f de k- varietes integres, propres et lisses satisfait le principe de hasse si pour toute variete x de f telle que #p x(kp) soit non vide, alors x(k) est non vide. On etudie dans cette these la validite de ce principe pour deux familles de varietes rationnelles :. Les espaces principaux homogenes sous les groupes lineaires classiques. On montre que si k est un corps de dimension cohomologique virtuelle au plus 1, et si x est un tel espace principal homogene ayant des points dans toutes les clotures reelles de k, alors x a un k-point. Ceci implique en particulier le principe de hasse pour cette famille de varietes sur le corps k. L'etude des differents groupes se fait cas par cas, en considerant les objets algebriques (formes hermitiennes, algebres simples centrales. . . ) qui leur sont associes. . Les surfaces fibrees en coniques sur p#1#k. Colliot-thelene a defini une obstruction de reciprocite au principe de hasse, analogue a celle definie par manin sur les corps de nombres, qui permet de construire de telles surfaces ne satisfaisant pas le principe de hasse. On montre, en en utilisant une interpretation geometrique, que cette obstruction est la seule pour ces surfaces lorsque r est archimedien ; si r n'est pas archimedien, on montre par un contre-exemple que ce n'est plus le cas.