Equations de transport et mecanique des fluides

par BENOIT DESJARDINS

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de Pierre-Louis Lions.

Soutenue en 1997

à Paris 9 .


  • Résumé

    L'objet de cette these est l'analyse mathematique de modeles issus de la mecanique des fluides. L'etude est centree principalement sur les equations de navier-stokes incompressibles inhomogenes et les equations de navier-stokes compressibles isentropiques. La premiere partie est consacree aux equations differentielles ordinaires associees a des champs de vecteurs a coefficients irreguliers, typiquement a derivees integrables. R. J. Di perna et p. -l. Lions ont ete pionniers dans l'etude de champs de vecteurs a regularite w#1#,#1 et a divergence bornee, en montrant l'existence et l'unicite d'un flot x verifiant la plupart des proprietes des flots de champs de vecteurs reguliers, valables cependant pour presque tout point initial. L'objet de la premiere partie est d'etendre cette theorie a des champs a divergence non bornee. La preuve repose sur la methode des solutions renormalisees pour les equations de transport, introduites par r. J. Di perna et p. -l. Lions. Dans la continuite des resultats precedents, on montre d'autre part un theoreme d'existence de solutions plus fortes correspondant a des donnees initiales dans w#1#,#m (m > 1) pour #t +b. * = 0, le champ de vecteurs b associe etant suppose de regularite sobolev w#s#+#1#,#p avec sp = n. Ces resultats sont ensuite appliques a une preuve d'unicite des solutions des equations de navier-stokes incompressibles inhomogenes en dimension 2. Dans la deuxieme partie de ce travail, on s'interesse a des modeles de fluides incompressibles. On considere une famille de fluides incompressibles non miscibles indexes par 1,. . . , m dans un ouvert de r#n (n 2). Ces fluides sont caracterises par leur densite i#1im et leur viscosite #i#1##im. Le premier chapitre traite des questions d'existence globale de solutions faibles pour les equations de navier-stokes incompressibles lorsque le domaine est non borne. On etudie ensuite la regularite des ecoulements plans multiphasiques, en enoncant les resultats en fonction de la dispersion relative des viscosites, tout en tenant compte de l'eventuelle presence de poches de vide dans le milieu fluide. Le troisieme chapitre est consacre a quelques remarques sur la regularite des solutions faibles d'une equation issue d'un modele simplifie de magnetohydrodynamique, couplant les equations de navier-stokes incompressibles et les equations de maxwell. Enfin, on etudie les equations de navier-stokes modelisant l'evolution d'un fluide compressible isentropique. Les travaux de p. -l. Lions assurent l'existence globale en temps de solutions faibles sous certaines hypotheses sur la loi de pression. En dimension n = 2 ou 3, on peut montrer des resultats de regularite en temps petit pour des densistes initiales s'annulant. Lorsque n = 2, on obtient des resultats globaux en temps, sous reserve que la densite reste bornee. On utilise pour cela une estimation logarithmique, demontree dans le contexte des modeles incompressibles precedemment cites. Dans le second chapitre, on analyse la regularite des solutions faibles en dimension n 2, en montrant une estimation a priori qui donne des renseignements sur la regularite en temps du champ des vitesses.


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Informations

  • Détails : 211 P.
  • Annexes : 203 REF.

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