Existence et régularité pour des problèmes d'optimisation de formes

par Mohammed Hayouni

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Michel Pierre.

Soutenue en 1997

à Nancy 1 .


  • Résumé

    La première partie de ce travail concerne l'existence et la régularité lipschitzienne des fonctions d'état dans un problème d'optimisation de forme. Celui-ci consiste à trouver parmi tous les ouverts de mesure prescrite de R[exposant]N celui qui minimise l'énergie associée au problème de Dirichlet posé sur chacun de ces ouverts. Nous commençons notre étude par une approche variationnelle qui donne un résultat d'existence. Puis nous introduisons un problème variationnel approché et nous montrons qu'il admet des solutions régulières grâce au fait que l'équation d'Euler-Lagrange est une équation aux dérivées partielles semi-linéaire. Lorsque ces solutions ne changent pas de signe, nous montrons qu'elles sont uniformément lipschitziennes et qu'elles convergent vers une solution lipschitzienne du problème variationnel de départ. De plus, l'ensemble dans lequel cette solution ne s'annule pas est solution du problème d'optimisation de forme considéré. La deuxième partie est consacrée à l'étude, en dimensions 2 et 3, de la continuité, par rapport aux variations (au sens de Hausdorff) du domaine, des solutions du problème biharmonique avec des conditions aux limites du type Dirichlet homogène. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante portant sur le domaine pour qu'il y ait continuité. Puis nous dégageons quelques conditions suffisantes simples sur le bord du domaine. Enfin, nous traitons un exemple explicite d'homogénéisation du gradient en dimension 2.

  • Titre traduit

    Existence and regularity for a shape optimisation problems


  • Résumé

    The first part of this work deals with the existence and the Lipschitz regularity of the state function in a shape optimization problem. This problem consists in fin ding an open subset of R[exponent]N with a prescribed measure, which minimizes the energy associated to the Dirichlet problem on such sets. We start by using a variational approach to get the existence result. Then, we introduce an approximated variational problem and prove that its solutions are regular since the EulerLagrange equation is a semi-linear partial differential equation. Provided that those solutions do not change their signs, we show that they are uniformly Lipschitz regular and therefore, converges to a Lipschitz solution to the initial variational problem. Moreover, the set where this state function does not vanish is a solution to the considered shape optimisation problem. The second part is devoted to the study, in 2 and 3 dimensions, of the continuity, with respect to the variations of a bounded domain (in Hausdorff sense), of the solutions of the biharmonic problem with homogenous Dirichlet boundary conditions. We first give a necessary and sufficient condition on the domaine under which the continuity holds. Then we bring out some simple and sufficient conditions on the boundary of the domain. Pinally, we give an explicit example of homogenization of the gradient in 2 dimension al case.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (II-134 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliographie p. 133-134

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  • Bibliothèque : Université de Lorraine (Villers-lès-Nancy, Meurthe-et-Moselle). Direction de la Documentation et de l'Edition - BU Sciences et Techniques.
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