Conditions d'existence d'une solution non triviale à l'équation du pendule simple ou double

par Sandrine Kaméni Tagni

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Otared Kavian.

Soutenue en 1997

à Nancy 1 .


  • Résumé

    Notre étude concerne l'existence de solutions périodiques non triviales pour l'équation du pendule simple et double à forces constantes. Pour l'équation du pendule simple, nous commençons par établir une condition nécessaire d'existence d'une solution périodique non constante. Ensuite, par deux méthodes différentes (une analyse dans le plan de phase d'une part, et une méthode variationnelle de construction de points critiques d'autre part) nous montrons que, pour une période d'oscillation suffisamment grande, l'équation du pendule simple à force constante admet toujours une solution périodique non constante. L'intérêt de la méthode variationnelle réside dans le fait qu'elle peut s'appliquer au cas du pendule double (ou même multiple). En ce qui concerne l'équation du pendule double, nous montrons alors que, pour une période d'oscillation suffisamment grande, l'équation admet une solution périodique non constante. Pour ce faire, nous montrons que la fonctionnelle associée satisfait une version modifiée de la condition de Palais-Smale classique. Ensuite, en utilisant le théorème du col d'Ambrosetti et Rabinowitz, nous construisons plusieurs valeurs critiques. En vertu du résultat de H. Hofer sur les indices de Morse des points critiques de type mountain pass, nous montrons que l'un au moins des points critiques correspondants est non trivial.

  • Titre traduit

    Conditions of the existence of a non trivial periodic solution for the simple or double pendulum equation


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    Our work deals with the existence of non constant periodic solutions for the equations of the simple and double penduli with constant forcing terms. For the simple pendulum, we consider the case when the forcing term is constant. We begin by establish a necessary condition of the existence of a non constant periodic solution. Then, by two different methods (namely, an analysis in phase plane, and a variational method of construction of critical points) we prove that for a period of oscillation sufficiently large, the simple pendulum equation with constant forcing term has always a non constant periodic solution. The advantage of the variational metod is that we can use it in the case of the double (or even multiple) pendulum equation. We then consider the case of a double pendulum with two constant forcing terms. Again, we prove that, under for a period of oscillation sufficiently large, the double pendulum equation with constant forcing terms, has a non constant periodic solution. In fact, we prove that the functional of the corresponding variational problem satisfies a modified Palais-Smale condition. Using the Ambrosetti-Rabinowitz mountainpass theorem, we prove that this functional has critical values. Then, by using the result of H. Hofer on the Morse-index of the mountainpass-type critical points, we prove that at least one of those critical value corresponds to a non trivial critical point which is the expected solution.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (110-IX p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliographie p. V-IX

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  • Bibliothèque : Université de Lorraine (Villers-lès-Nancy, Meurthe-et-Moselle). Direction de la Documentation et de l'Edition - BU Sciences et Techniques.
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