Sur quelques problèmes relatifs aux systèmes non linéaires : linéarisation statique et singularités, stabilisation globale de certains systèmes

par Abdelhak Ferfera

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Gauthier Sallet.

Soutenue en 1997

à Metz .


  • Résumé

    Ce travail comporte trois parties. Dans la première, on s'intéresse au problème du découplage avec stabilité, par commande statique pour les systèmes bilinéaires. Pour ces systèmes non linéaires, la matrice de découplage est singulière sur une surface algébrique contenant l'origine, ce qui rend le problème plus difficile : dans ce cas généralement les trajectoires du système bouclé ne sont pas complètes et/ou les commandes ne sont pas bornées. On considère ici des systèmes bilinéaires à deux entrées-deux sorties sans zéros dynamiques, pour lesquels on donne des conditions suffisantes de découplage avec stabilité par des commandes linéarisantes. La deuxième partie est consacrée à des questions de stabilisation globale par retour d'état pour certains systèmes non linéaires. On s'intéresse d'une part aux systèmes partiellement linéaires pour lesquels divers auteurs ont donné des conditions suffisantes de stabilisation globale à partir d'une fonction de Lyapunov stricte. Il n'existe malheureusement pas de méthode systématique pour construire une telle fonction. On montre ici que la connaissance d'une fonction de Lyapunov large vérifiant le principe d'invariance de LaSalle suffit pour obtenir une commande stabilisante globale. L'intérêt de notre démarche est que pour de très larges classes de systèmes, dont les systèmes mécaniques, il est plus facile de construire une fonction de Lyapunov large plutôt qu'une stricte. On donne d'autre part une condition suffisante de stabilisation globale pour des systèmes non affinés en contrôle généralisant celle de Jurdjevic-Quinn connue pour les systèmes affinés en contrôle. La dernière partie étend des résultats de stabilisation déterministes a des systèmes non linéaires stochastiques. On y donne une condition suffisante de stabilisation globale pour des systèmes partiellement linéaires stochastiques et une version stochastique de la condition de Jurdjevic-Quinn pour des systèmes stochastiques non nécessairement affinés en contrôle

  • Titre traduit

    On some problems relating to nonlinear systems : static state feedback linearization and singularities, global stabilization for some nonlinear control systems


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    This work contains three parts. The first one deals with the static noninteracting control problem with stability for bilinear systems. For this class of nonlinear systems, the decoupling matrix is singular on an algebraic surface which contains the origin, and this relates the noninteracting control with stability to the difficult problem of completeness of trajectories of the closed-loop system and/or boundedness of feedback laws. We consider here two inputs-two outputs bilinear systems without zero dynamics, for which we give sufficient conditions for noninteracting control with stability by linearizing feedback. The second part is devoted to the global stabilization problem for nonlinear systems. First, we consider partially linear systems for which various authors gave global stabilization sufficient conditions by means of a strict lyapunov function. Unfortunately, there is no systematic method to compute such a function. Here we show how to compute the global stabilizing feedback thanks to a weak Lyapunov function satisfying LaSalle's invariance principle instead of a strict one. The advantage of our result is that for a large class of systems it is easier to construct a weak Lyapunov function than a strict one. This is tipically the case for mechanical systems for example. Later on, we give a global stabilization sufficient condition for nonaffine control systems generalizing the well known Jurdjevic-Quinn condition for affine control systems. The last part extends deterministics stabilisation results to nonlinear stochastic systems. We give a sufficient condition for global stabilization of partially linear stochastic systems. We also give, for nonaffine control stochastic systems, a version of Jurdjevic-Quinn condition

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  • Annexes : Bibliogr. en fin de chapitres

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