Contributions théoriques et algorithmiques à l'étude des équations différencielles-algébriques : Approche par le calcul formel

par Gabriel Thomas

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Jean Della Dora.

Soutenue en 1997

à Grenoble INPG .


  • Résumé

    Cette thèse de Calcul Formel présente une étude des Equations Différentielles-Algébriques (ou avec contraintes), de type polynomiales et quasilinéaires. Il faut en général dériver ces équations pour pouvoir décider de l'existence de solutions. Ce nombre de dérivations est appelé indice par les numériciens. La première partie précise la définition de l'indice, par une approche algébrique du problème, qui est ensuite comparée aux travaux récents en algèbre différentielle, théorie créée par J. F. Ritt vers 1940. Nous montrons que l'indice ne dépend que des composantes irréductibles de la variété des contraintes. L'utilisation d'idéaux premiers rend ces résultats peu effectifs. En deuxième partie nous remédions à ce problème en utilisant un algorithme dû à D. Lazard, qui décompose les EDA en systèmes triangulaires. Les variétés sont représentées par des idéaux radicaux équidimensionnels. L'algorithme est implémenté dans les systèmes Maple V et GB, pour les calculs de bases de Gröbner. Il s'agit du premier algorithme entièrement formel calculant indice et ensemble des contraintes d'une EDA. La dernière partie étudie localement les points-impasse des EDO implicites, singularités génériques des EDA quasi-linéaires. En nous plaçant dans l'espace complexe, nous montrons simplement que ces points ne sont autres que des points de branchement algébriques des solutions. L'exposant des séries de Puiseux solutions en ces points est obtenu en considérant leur multiplicité dans le déterminant du système, ce qui généralise un résultat de Briot et Bouquet

  • Titre traduit

    Symbolic approach for the study of Differential-Algebraic Equations. Theory and Computation of the differential Index


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  • Détails : 1 vol. (152 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 7-10 (59 ref)

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  • Cote : IMAG-1997-THO
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