Estimation du nombre de resonances pres de l'axe reel pour l'operateur de schrodinger

par MAHER ZERZERI

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Johannes Sjöstrand.

Soutenue en 1997

à l'EP .

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  • Résumé

    On s'interesse dans cette these a l'estimation du nombre de resonance pres de l'axe reel pour l'operateur de schrdinger. Le resultat principal met en evidence le lien etroit entre le nombre de resonances et une certaine notion de trajectoires captees. Plus precisement, on majore le nombre de resonances de notre operateur dans un petit angle pres de l'axe reel par le volume dans l'espace des phases de la reunion des trajectoires captees. Pour demontrer ce resultat, on utilise une definition microlocale des resonances qui se base sur la theorie des operateurs h-pseudodifferentiels elliptiques a l'infini. On commence par deformer r#2#n en utilisant une fonction fuite (au sens de b. Helffer et j. Sjstrand) g adaptee a notre probleme. On demontre un theoreme geometrique d'existence d'une telle fonction fuite. Apres un rappelle sur les techniques de helffer et sjstrand (i-lagrangienne et la transformation f. B. I), on generalise les operateurs h-pseudodifferentiels en ajoutant un parametre spectral qui correspond a l'energie et on demontre les differents theoremes classiques de calcul pseudodifferentiels et integraux de fourier. On trouve une condition suffisante pour qu'un operateur pseudodifferentiel soit de classe trace. On generalise le calcul fonctionnel de sjstrand et zworski a nos operateurs et on applique ce calcul fonctionnel a notre operateur initial ce qui nous permet de construire un operateur autoadjoint. On prouve un theoreme qui nous permet de controler le spectre de notre operateur initial. En utilisant un lemme qui compare le spectre de l'operateur dilater et l'operateur autoadjoint construit -par le calcul fonctionnel- nous permet de conclure. Enfin, on donne un exemple explicite ainsi qu'une petite idee sur les operateurs de tplitz qui met en evidence la connection entre cette theorie et le calcul utilise.


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Informations

  • Détails : 94 P.
  • Annexes : 31 REF.

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