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Thèse soutenue

Analyse statistique multifractale en turbulence développée et application à la finance

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Auteur / Autrice : Jean-Marcel Tchéou
Direction : Marc-Étienne Brachet
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques apppliquées
Date : Soutenance en 1997
Etablissement(s) : Cachan, Ecole normale supérieure

Résumé

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Cette thèse est consacrée à l'étude statistique (densité de probabilité et moments) des accroissements des variables d'état pour des systèmes présentant des lois d'échelle multifractales. A l'aide de la méthode du col, nous montrons qu'il existe dans ce cas une double relation asymptotique explicite et locale qui permet d'exprimer les densités de probabilité en fonction des moments et réciproquement. Les termes dominants (exponentiels) de la double asymptotique s'écrivent sous la forme d'une transformée de Legendre identique a celle du modèle de Parisi-Frisch. Cette asymptotique permet de reconstruire toute la famille de densités a partir du spectre des exposants multifractals et de la statistique des moments a grande échelle. Grace aux données de P. Tabeling en turbulence, nous avons pu montrer que les moments pouvaient être quantitativement représentés par des lois d'échelle multifractales et par une statistique quasi gaussienne a grande échelle. Cette grande échelle, déterminée a partir de données prises uniquement dans la zone inertielle, reste de l'ordre de l'échelle intégrale dans une gamme très large du nombre de Reynolds. Cette représentation des moments permet, a l'aide de la double relation asymptotique de reproduire quantitativement les distributions de probabilité. Nous avons également pu mettre à l'épreuve certaines expressions analytiques et théoriques de l'exposant multifractal. En utilisant les données financières du CAC 40 et du taux monétaire DEM/USD, nous avons pu montrer que ces données étaient susceptibles d'une modélisation semblable à celle effectuée en turbulence. En effet, les moments des accroissements présentent des lois d'échelle multifractales et une statistique gaussienne a grande échelle. La modélisation correspondante des densités de probabilité est en bien meilleur accord avec les données expérimentales que les modélisations usuelles monofractales du type gaussienne ou de Lévy.