Unités et p-unités cyclotomiques dans les Zp-extensions cyclotomiques des corps de nombres abéliens sur Q

par Jean-Robert Belliard

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de David Solomon.

Soutenue en 1997

à Bordeaux 1 .

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  • Résumé

    Cette these est consacree a l'etude galoisienne de certains objets de nature multiplicative, contenus dans le groupe multiplicatif k#x#n du n#i#e#m#e etage de la z#p#- extension cyclotomique d'un corps de nombres reel k = k#o, abelien sur q. On y definit un module galoisien d#n(k), qui decrit les nouvelles unites cyclotomiques de k#n, nouvelles au sens que le produit de d#n(k) avec les unites cyclotomiques de k contient les unites cyclotomiques de k#n. Soit #n le groupe de galois de k#n sur k. En utilisant deux hypotheses verifiees dans une grande variete de cas (hypotheses a et b), on y donne explicitement la z#n-structure locale ou meme eventuellement globale de d#n(k) (theoreme 4. 5). Par exemple l'hypothese a, qui entraine l'hypothese b, a lieu lorsque le groupe de galois de k sur q est cyclique ou lorsque k est un corps de genres au sens de frohlich. L'hypothese b, en prenant p = 2 est verifiee de plus lorsque k est le sous-corps maximal reel d'un corps cyclotomique. On montre aussi, avec deux exemples, que la conclusion du theoreme 4. 5 n'a pas lieu en general, et necessite donc l'utilisation d'hypotheses. Le dernier chapitre de cette these contient l'etude de la z#p#n-structure du module engendre par les p-unites cyclotomiques construites par solomon (analogues reels des sommes de gauss). Cette etude se fait au moyen de techniques exactement semblables a celles qui precedent, mais se revele etre beaucoup plus aisee.


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